Das gelingt, indem man die quadratische Funktion in der Nullstellenform aufstellt. Diese lautet allgemein:
f ( x ) = a * ( x - x1 ) * ( x - x2 )
wobei a der Streckfaktor ist und x1 , x 2 die Nullstellen sind.
Damit erhält man zunächst:
f ( x ) = a * ( x - ( - 2 ) ) * ( x - ( - 4 ) ) = a * ( x + 2 ) * ( x + 4 )
Nun muss noch der Streckfaktor a bestimmt werden. Dazu ist es hilfreich zu wissen, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes aufgrund der Symmetrie einer Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt, sofern die Parabel zwei Nullstellen hat.
(Hat die Parabel nur eine Nullstelle, dann ist dies auch die Scheitelpunktstelle. Hat die Parabel keine Nullstelle, dann muss der Scheitelpunkt anders berechnet werden. )
Vorliegend sind zwei Nullstellen vorhanden, also ist die Scheitelpunktstelle
xs = ( - 2 + ( - 4 ) ) / 2 = - 3
Der Funktionswert des Scheitelpunktes ist gegeben:
ys = f ( xs ) = 2
Diese beiden Werte ( xs = - 3 und f ( xs ) = 2 ) setzt man nun in die oben fett gesetzte Gleichung ein und erhält:
2 = a * ( - 3 + 2 ) * ( - 3 + 4 )
Auflösen nach a ergibt:
<=> 2 = a * ( - 1 )
<=> a = 2 / ( - 1 ) = - 2
Damit kann man nun die konkrete Funktionsgleichung aufstellen:
f ( x ) = - 2 * ( x + 2 ) * ( x + 4 )
Hier der Graph dieser Funktion:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-2*%28x%2B2%29*%28x%2B4%29+