Ableitung mit Substitution berechnen und Rücksubstituieren.

Question

Aufgabe:

Ich möchte Ableitungen der Fkt. f(x)=1/sqrt(1-x^2) mit der Substitution z=x^2 berechnen.

Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung wäre dann f'(x)=1/(2*(1-z)^(3/2)). Ist das richtig? Und wenn ja wie stubstituiere ich dann zurück?

Vielen Dank Simplex

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\stackrel{z(x)=x^2}{\implies}\quad f(z(x))=\frac{1}{\sqrt{1-z}}=(1-z)^{-\frac12}$$Nun kannst du die Kettenregel benutzen:$$\frac{df}{dx}=\frac{df}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\underbrace{-\frac12(1-z)^{-\frac32}\cdot(-1)}_{=\frac{df}{dz}}\;\cdot\;\underbrace{2x}_{=\frac{dz}{dx}}\stackrel{z=x^2}{=}\frac{1}{2(1-x^2)^{\frac32}}\cdot2x=\frac{x}{(1-x^2)^{\frac32}}$$

Comments

Vielen Dank!

Kann man diese Substitution immer nur pro Ableitung, oder auch mehrmals durchführen und dann am Ende nach mehreren Ableitungen restubstituieren?

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Du kannst beliebig viele Substitutionen hinereinander setzen, daher passt der Name Kettenregel auch sehr gut. Nur schreibt man diese Substitutionen normalerweise nicht explizit aus, sondern führt sie einfach hintereinander durch. Dazu ein Beispiel:

$$\sin\left(\left(1+e^{x^2}\right)^{37}\right)=\cos\left(\left(1+e^{x^2}\right)^{37}\right)\cdot37\left(1+e^{x^2}\right)^{36}\cdot e^{x^2}\cdot 2x$$Die Kette startet mit der Ableitung der Sinus-Funktion, das Argument wird übernommen. Dann folgt in der Kette die Ableitung der Potenz \((\cdots)^{37}\), das Argument wird übernommen. Weiter geht es mit der Ableitung der inneren Klammer \((1+e^{x^2})\) bzw. der Ableitung von \(e^{x^2}\), weil die Ableitung der \(1\) ja verschwindet. Die Ableitung der \(e\)-Funktion ist sie selbst, aber die Ableitung ihres Argumentes \(x^2\) ist \(2x\).

Man arbeitet sich bei der Kettenregel sozusagen von außen nach innen durch.

Answer 2

\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)

Wenn man nicht substituieren möchte:

\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{0 \cdot \sqrt{1-x^{2}}-1 \cdot \frac{-2 x}{2 \cdot \sqrt{1-x^{2}}}}{\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}}=\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{x}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}} \)