a) Der muss ja dreidimensional sein, weil er aus
allen möglichen Linearkombinationen der Basisvektoren
besteht, also z.B. der von
$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}$$
erzeugte Unterraum .
b) Argumentation wie a). Über F2 gibt es nur die
Faktoren 0 und 1 , also bei n Basisvektoren immer 2^n
Elemente.
c) Wenn dim V = 6, dim U = 5 und dim W = 4 .
Bedenke dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)
und U+W ist Unterraum von V, also
0 ≤ dim(U+W) ≤6
Außerdem U Unterraum von U+W, also
5 ≤ dim(U+W) ≤6
5 ≤ dim(U)+dim(W)-dim(U∩W) ≤6
5 ≤ 9-dim(U∩W) ≤6
- 4 ≤ - dim(U∩W) ≤ -3 | *(-1)
4 ≥ dim(U∩W) ≥ 3 q.e.d.