Aufgaben zu Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

(a) Geben Sie ein Beispiel für einen Untervektorraum des F⁴₃ an, der 9 Elemente enthält.
(b) Zeigen Sie: Es gibt keinen Untervektorraum des F⁵₂ mit 7 Elementen.
(c) Es seien V ein Vektorraum und U, W ⊆ V Untervektorräume von V .
Zeigen Sie: Wenn dim V = 6, dim U = 5 und dim W = 4, dann 4 ≥ dim(U ∩ W) ≥ 3.

Kann mir jemand bitte helfen?

Grüße

Answer 1

a) Der muss ja dreidimensional sein, weil er aus

allen möglichen Linearkombinationen der Basisvektoren

besteht, also z.B. der von

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

erzeugte Unterraum .

b) Argumentation wie a). Über F₂ gibt es nur die

Faktoren 0 und 1 , also bei n Basisvektoren immer 2^n

Elemente.

c) Wenn dim V = 6, dim U = 5 und dim W = 4 .

Bedenke dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)

und U+W ist Unterraum von V, also

         0 ≤ dim(U+W) ≤6

Außerdem U Unterraum von U+W, also

            5 ≤ dim(U+W) ≤6

      5 ≤     dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)  ≤6

    5   ≤    9-dim(U∩W)  ≤6

  - 4   ≤  - dim(U∩W)  ≤  -3  | *(-1)

      4 ≥       dim(U∩W)       ≥  3        q.e.d.