a) "Einfach" die Definition der Gramschen Matrix anwenden und dabei die definierte Bilinearform β ( x , y ) nutzen (allerdings muss man dabei immer wieder sehr genau hinschauen, daher ohne Gewähr):
$${ G }_{ E }=\begin{pmatrix} \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) & \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) & \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) & \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) & \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) & \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) & \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 5*1*1+9*0*0+4*0*1+17*0*0 & 5*1*0+9*0*0+4*0*1+17*0*0 & 5*1*0+9*0*0+4*0*0+17*0*1 \\ 5*0*1+9*1*0+4*1*1+17*0*0 & 5*0*0+9*1*1+4*1*0+17*0*0 & 5*1*0+9*0*0+4*0*0+17*0*1 \\ 5*0*1+9*0*0+4*0*1+17*1*0 & 5*0*0+9*0*1+4*0*0+17*1*0 & 5*0*0+9*0*0+4*0*0+17*1*1 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}$$
b) Die Eigenwerte sind die Lösungen der Gleichung$$\chi (\lambda )=0$$ wobei \(\chi (\lambda )\) das charakteristische Polynom von \({ G }_{ E }\) ist, also:
$$\chi (\lambda )=det({ G }_{ E }-\lambda E)$$$$=det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 0 & 0 \\ 4 & 9-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 17-\lambda \end{pmatrix}=(5-\lambda )(9-\lambda )(17-\lambda )=0$$$$\Rightarrow$$$${ \lambda }_{ 1 }=5;$$$${ \lambda }_{ 2 }=9;$$$${ \lambda }_{ 3 }=17$$
c) Das krieg ich aus dem Stegreif nicht hin, da muss ich mich vorher noch mal schlau lesen ...
d) Wenn die Orthonormalbasis in Teil c) bestimmt worden ist, dann muss man wie in Teil a) die Gramsche Matrix berechnen, allerdings jetzt nicht mit der Standardbasis des R3 sondern mit den Vektoren der in Teil c) berechneten Orthonormalbasis.