Standardskalarprodukt, symmetrische Bilinearform. Gramsche Matrix? Eigenwerte?

Question

Aufgabe:

Bezeichnung: \( (,)_2 \) bezeichnet das Standardskalarprodut auf dem \( \mathbb{R}^{n}, \) also
$$ (,)_{2}: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R},(x, y)_{2}:=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} $$
(1) Sei \( \beta: V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) eine symmetrische Bilinearform auf dem \( n \) -dimensionalen \( \mathbb{R} \) -Vektorraum
\( V \) und sei \( \mathcal{B}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) eine Basis von \( V . \) Die Matrix
$$ G_{\mathcal{B}}(\beta):=\left(\beta\left(v_{i}, v_{j}\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n} \in \operatorname{Mat}(n \times n, \mathbb{R}) $$
heißt Gramsche Matrix von \( \beta \) zur Basis \( \mathcal{B} \). Sei nun \( V=\mathbb{R}^{3} \) und die symmetrische Bilinearform \( \beta: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert duch
$$ \beta(x, y):=5 x_{1} y_{1}+4 x_{2} y_{2}+5 x_{2} y_{2}+4 x_{2} y_{1}+17 x_{3} y_{3} $$
(a) Bestimmen Sie die Gramsche Matrix \( G_{\mathcal{E}}(\beta) \) von \( \beta \) zur Standardbasis \( \mathcal{E} \) des \( \mathbb{R}^{3} \).
(b) Berechnen Sie alle Eigenwerte von \( G_{\mathcal{E}}(\beta) \) und entscheiden Sie, ob \( \beta \) positiv definit ist.
(c) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis \( \mathcal{B} \) von \( \mathbb{R}^{3} \) bezüglich des Standardskalarprodukts
\( (,)_{2}, \) die aus Eigenvektoren von \( G_{\mathcal{E}}(\beta) \) besteht.
(d) Berechnen Sie die Gramsche Matrix \( G_{\mathcal{B}}(\beta) \) von \( \beta \) zur Basis \( \mathcal{B} \).

Answer 1

a) "Einfach" die Definition der Gramschen Matrix anwenden und dabei die definierte Bilinearform β ( x , y ) nutzen (allerdings muss man dabei immer wieder sehr genau hinschauen, daher ohne Gewähr):

$${ G }_{ E  }=\begin{pmatrix} \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)  & \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)  & \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)  \\ \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)  & \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)  & \beta \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)  \\ \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)  & \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right)  & \beta \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)  \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 5*1*1+9*0*0+4*0*1+17*0*0 & 5*1*0+9*0*0+4*0*1+17*0*0 & 5*1*0+9*0*0+4*0*0+17*0*1 \\ 5*0*1+9*1*0+4*1*1+17*0*0 & 5*0*0+9*1*1+4*1*0+17*0*0 & 5*1*0+9*0*0+4*0*0+17*0*1 \\ 5*0*1+9*0*0+4*0*1+17*1*0 & 5*0*0+9*0*1+4*0*0+17*1*0 & 5*0*0+9*0*0+4*0*0+17*1*1 \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 4 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}$$

b) Die Eigenwerte sind die Lösungen der Gleichung$$\chi (\lambda )=0$$  wobei \(\chi (\lambda )\) das charakteristische Polynom von \({ G }_{ E }\) ist, also:

$$\chi (\lambda )=det({ G }_{ E }-\lambda E)$$$$=det\begin{pmatrix} 5-\lambda  & 0 & 0 \\ 4 & 9-\lambda  & 0 \\ 0 & 0 & 17-\lambda  \end{pmatrix}=(5-\lambda )(9-\lambda )(17-\lambda )=0$$$$\Rightarrow$$$${ \lambda  }_{ 1 }=5;$$$${ \lambda  }_{ 2 }=9;$$$${ \lambda  }_{ 3 }=17$$

c) Das krieg ich aus dem Stegreif nicht hin, da muss ich mich vorher noch mal schlau lesen ...

d) Wenn die Orthonormalbasis in Teil c) bestimmt worden ist, dann muss man wie in Teil a) die Gramsche Matrix berechnen, allerdings jetzt nicht mit der Standardbasis des R³ sondern mit den Vektoren  der in Teil c) berechneten Orthonormalbasis.