Für reelle Vektoren \( x = (u~~v)^T \neq (0~~0)^T \) ist
$$ x^H A x = (u~~ v) \begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix} = u v $$ $$ x^H x = u^2 + v^2$$
Wegen \( 0\le (u-v)^2 = u^2 -2uv + v^2 \) ist \( 2uv \le \underbrace{u^2 + v^2}_{\ge 0} \) und somit
$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \le \frac{1}{2} $$
Analog wegen \( 0\le (u+v)^2 = u^2 +2uv + v^2 \) ist \( -2uv \le u^2+v^2 \) ...
$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \ge - \frac{1}{2} $$
Für u=v bzw. u=-v werden die Werte 1/2 und -1/2 auch angenommen.