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Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist A ∈ Rn,n nicht symmetrisch, sondern triangulierbar (über R), so gilt
keine der beiden Gleichungen aus a) im Allgemeinen.

Gleichungen aus a):

λmax= max \( \frac{x^HAx}{x^Hx} \) (dasselbe für λmin)


Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz. Vielleicht ein Beispiel in dem das nicht gilt aber weiß nicht wie ich eins finden soll.

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Alle 1x1 Matrizen sind symmetrisch, also versucht man es mit 2x2 Matrizen:

0 1

0 0

Das maximum ist hier 1/2 das Minimum -1/2 Die Matrix hat aber nur EW 0.

Vielen Dank!

Wie sind Sie jetzt auf das Max und Min gekommen?

Für reelle Vektoren \( x = (u~~v)^T \neq (0~~0)^T \) ist

$$ x^H A x = (u~~ v) \begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix} = u v $$ $$ x^H x = u^2 + v^2$$

Wegen \( 0\le (u-v)^2 = u^2  -2uv + v^2 \) ist \( 2uv \le \underbrace{u^2 + v^2}_{\ge 0} \) und somit

$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \le \frac{1}{2} $$

Analog wegen \( 0\le (u+v)^2 = u^2  +2uv + v^2 \) ist \( -2uv \le u^2+v^2 \) ...

$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \ge - \frac{1}{2} $$

Für u=v bzw. u=-v werden die Werte 1/2 und -1/2 auch angenommen.

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