0 Daumen
206 Aufrufe

Aufgabe:

Zeigen Sie: Ist A ∈ Rn,n nicht symmetrisch, sondern triangulierbar (über R), so gilt
keine der beiden Gleichungen aus a) im Allgemeinen.

Gleichungen aus a):

λmax= max \( \frac{x^HAx}{x^Hx} \) (dasselbe für λmin)


Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz. Vielleicht ein Beispiel in dem das nicht gilt aber weiß nicht wie ich eins finden soll.

Avatar von

Alle 1x1 Matrizen sind symmetrisch, also versucht man es mit 2x2 Matrizen:

0 1

0 0

Das maximum ist hier 1/2 das Minimum -1/2 Die Matrix hat aber nur EW 0.

Vielen Dank!

Wie sind Sie jetzt auf das Max und Min gekommen?

Für reelle Vektoren \( x = (u~~v)^T \neq (0~~0)^T \) ist

$$ x^H A x = (u~~ v) \begin{pmatrix}v\\0\end{pmatrix} = u v $$ $$ x^H x = u^2 + v^2$$

Wegen \( 0\le (u-v)^2 = u^2  -2uv + v^2 \) ist \( 2uv \le \underbrace{u^2 + v^2}_{\ge 0} \) und somit

$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \le \frac{1}{2} $$

Analog wegen \( 0\le (u+v)^2 = u^2  +2uv + v^2 \) ist \( -2uv \le u^2+v^2 \) ...

$$ \frac{uv}{u^2+v^2} \ge - \frac{1}{2} $$

Für u=v bzw. u=-v werden die Werte 1/2 und -1/2 auch angenommen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community