Guten Tag
Ich komme da bei der Aufgabe nicht ganz weiter.
Ansatz A)
Für den Beweis könnte ich den Differentialquotienten verwenden.
\(u_t(t,0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(t+h,0)-u(t,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(t+h,0)}{h}\)
\(u_t(t,1) = \lim_{h \to 0} \frac{u(t+h,1)-u(t,1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(t+h,1)}{h}\)
\(u_x(0,x) = \lim_{h \to 0} \frac{u(0,x+h)-u(0,x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{u(0,x+h)}{h}\)
Nur finde ich keine Relation zu den 3 Gleichung.
B)
Ansatz:
\(E(t) = \frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{1} (u_t(t,x)^2 + u_x(t,x)^2) dx\)
\(\frac{d}{dt} E(t) = \frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dt} \int_{0}^{1} (u_t(t,x)^2 + u_x(t,x)^2) dx\)
\(\frac{d}{dt} E(t) = \frac{1}{2}\cdot \int_{0}^{1} \frac{d}{dt}(u_t(t,x)^2 + u_x(t,x)^2) dx\)
\(\frac{d}{dt} E(t) =\cdot \int_{0}^{1} u_{tt}\cdot u_t + u_{xt}\cdot u_x dx\)
mit \(u_{xx} = u_{tt}\) und \(\frac{\partial{}}{\partial{x}}u_x\cdot u_y = u_{xx}\cdot u_t + u_{tx}\cdot u_{x}\)
\(\frac{d}{dt} E(t) =\int_{0}^{1} u_{xx}\cdot u_t + u_{xt}\cdot u_x dx\) => \(\frac{d}{dt} E(t) = \cdot \int_{0}^{1} \frac{\partial{}}{\partial{x}}u_x\cdot u_y\)
\(\frac{d}{dt} E(t) = \int_{0}^{1} \frac{\partial{}}{\partial{x}}u_x\cdot u_y dx\) = \(u_t(t,1)\cdot u_x(t,1) - u_t(t,0)\cdot u_x(t,0)\)
Ab da komme ich wieder nicht auf ein gutes Ergebnis.
Für C und D habe ich bereits eine Idee, brauche jedoch A und B dafür.
