Aufgabe:
Es sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum und \( B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) eine Basis von \( V \). Sei \( f \in L(V ; V) \) mit darstellender Matrix \( A \) beztiglich \( B \) :
\( A=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc} 6 & -1 & -7 \\ -20 & -5 & 15 \\ -7 & -3 & 4 \end{array}\right) \)
Es seien \( b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime} \in V \) definiert durch
\( \Phi_{B}\left(b_{1}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), \quad \Phi_{B}\left(b_{2}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \quad \Phi_{B}\left(b_{3}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \quad \in \mathbb{R}^{3} \)
i) Zeigen Sie, dass \( B^{\prime}=\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}\right) \) eine Basis von \( V \) ist.
ii) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von \( f \) beziglich der Basis \( B^{\prime} .^{1} \)
iii) Bestimmen Sie zwei Basen \( B^{\prime \prime} \) und \( B^{\prime \prime \prime} \) von \( V \), sodass die darstellende Matrix \( A^{\prime} \) von \( f \) bezilglich der Basen \( B^{\prime \prime} \) und \( B^{\prime \prime \prime} \) die Form
\( A^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} E_{\mathrm{rg}(f)} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \)
hat.
