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Aufgabe:

Es sei V V ein R \mathbb{R} -Vektorraum und B=(b1,b2,b3) B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) eine Basis von V V . Sei fL(V;V) f \in L(V ; V) mit darstellender Matrix A A beztiglich B B :

A=15(61720515734) A=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc} 6 & -1 & -7 \\ -20 & -5 & 15 \\ -7 & -3 & 4 \end{array}\right)
Es seien b1,b2,b3V b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime} \in V definiert durch
ΦB(b1)=(122),ΦB(b2)=(201),ΦB(b3)=(031)R3 \Phi_{B}\left(b_{1}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), \quad \Phi_{B}\left(b_{2}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \quad \Phi_{B}\left(b_{3}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \quad \in \mathbb{R}^{3}
i) Zeigen Sie, dass B=(b1,b2,b3) B^{\prime}=\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}\right) eine Basis von V V ist.
ii) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von f f beziglich der Basis B.1 B^{\prime} .^{1}
iii) Bestimmen Sie zwei Basen B B^{\prime \prime} und B B^{\prime \prime \prime} von V V , sodass die darstellende Matrix A A^{\prime} von f f bezilglich der Basen B B^{\prime \prime} und B B^{\prime \prime \prime} die Form
A=(Erg(f)000) A^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} E_{\mathrm{rg}(f)} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)
hat.

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