Es sei V ein \mathbb{R} -Vektorraum und B=\left(b1, b2, b3\right) eine Basis von V

Question

Aufgabe:

Es sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum und $B=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ eine Basis von $V$. Sei $f \in L(V ; V)$ mit darstellender Matrix $A$ beztiglich $B$ :

$A=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc} 6 & -1 & -7 \\ -20 & -5 & 15 \\ -7 & -3 & 4 \end{array}\right)$
Es seien $b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime} \in V$ definiert durch
$\Phi_{B}\left(b_{1}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), \quad \Phi_{B}\left(b_{2}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \quad \Phi_{B}\left(b_{3}^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) \quad \in \mathbb{R}^{3}$
i) Zeigen Sie, dass $B^{\prime}=\left(b_{1}^{\prime}, b_{2}^{\prime}, b_{3}^{\prime}\right)$ eine Basis von $V$ ist.
ii) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $f$ beziglich der Basis $B^{\prime} .^{1}$
iii) Bestimmen Sie zwei Basen $B^{\prime \prime}$ und $B^{\prime \prime \prime}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $A^{\prime}$ von $f$ bezilglich der Basen $B^{\prime \prime}$ und $B^{\prime \prime \prime}$ die Form
$A^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} E_{\mathrm{rg}(f)} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
hat.