Bestimmen Sie die Funktionen f und g und berechnen Sie vol(K)

Question

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Drehkoerper, der durch Rotation um die \( z \) -Achse entsteht und dessen Schnitt mit der \( x \) - \( z \) -Ebene durch einen Kreis mit Radius \( r_{0}>0 \) und Mittelpunkt \( (R, 0,0) \) gegeben ist, \( 0<r_{0}<R \).Wird dieser Schnitt fuer positive \( x \) durch\( a \leq z \leq b \text { und } 0 \leq f(z) \leq x \leq g(z) \)beschrieben, dann ist das Volumen \( \operatorname{vol}(K) \) von \( K \) gegeben durch\( \operatorname{vol}(K)=\pi \int \limits_{z=a}^{b}(g(z))^{2}-(f(z))^{2} d z \)Bestimmen Sie die Funktionen \( f \) und \( g \) und berechnen Sie \( \operatorname{vol}(K) \).Tipps:- Beispielsweise gilt \( f(z)=R-\sqrt{r_{0}^{2}-z^{2}} \)- Im Laufe der Berechnung des Integrals kann mit \( z=r_{0} \sin (t), t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), substituiert werden.Es gilt \( \operatorname{vol}(K)=k \cdot \pi^{p} \cdot R^{q} \cdot r_{0}^{d} \) mit \( k=\quad, p=\quad q= \)und \( d= \)

Problem/Ansatz:

wäre wirklich dankbar für einen Lösungsweg, da ich nicht verstehe wie ich bei so einer Aufgabenstellung vorzugehen habe und komme nicht wirklich weiter. Die gesuchten Zahlen sind k,p,q,d.

Danke

Answer 1

Hii ((:

Du solltest erstmal die Kreisfläche beschreiben: \( (x-R)²+z²≤r₀² \) und diese nach \( x \) auflösen.

d.h. \( (x-R)^{2}≤ r₀^{2}-z^{2} ⇔ |x-R|≤ \sqrt{r₀²-z²}  ,  z∈[-r₀,r₀] \)

Jetzt hast du zwei Fälle:

1)  \( -(x-R)≤\sqrt{r₀²-z²} ⇔ x≥R-\sqrt{r₀²-z²}  \)

2)  \( x-R≤\sqrt{r₀²-z²}  ⇔  x≤R+\sqrt{r₀²-z²}  \)

Also  \( f(z)=R-\sqrt{r₀²-z²}\)     und   \(g(z)=R+\sqrt{r₀²-z²} \)

Dannach berechne den Integral

\( \operatorname{vol}(K)=\pi \int \limits_{z=a}^{b}(g(z))^{2}-(f(z))^{2} d z =\pi \int \limits_{-r₀}^{r₀}( R+\sqrt{r₀²-z²} \) )\(^{2}-(R-\sqrt{r₀²-z²} \) )\(^{2}  d z =\pi \int \limits_{-r₀}^{r₀}4R\sqrt{r₀²-z²}  d z \)

Dann substituiere \(  z=r₀ sin(t)  \) und \( d z=r₀  cos(t) d t \) und weiterrechne.

\( =π \int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4R\sqrt{r₀²-r₀²sin(t)²}  r₀  cos(t)  d t=π \int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4R\sqrt{r₀² cos(t)²}  r₀  cos(t)  d t=π \int\limits_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}4R r₀² cos(t)²  d t=π (2R t r₀² +r₀² R sin(2t))| \) ^{\( \frac{π}{2} \)} und _{\( -\frac{π}{2} \)}   \(=π(Rπr₀²+Rπ r₀²)=2Rπ²r₀² \)

Grüsse