Bestimmen Sie die Koordinaten des Apex für die rechtwinklige Pyramide mit Volumen = 1944

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Koordinaten des Apex für die rechtwinklige Pyramide mit Volumen = 1944 (zwei Lösungen).

A(12,10,0)
B (9,7,12)
C (-2,2,8)
D (1,5,-4)

Problem/Ansatz:

Also mit der Formel für das Volumen habe ich die Höhe der Pyramide ausgerechnet. Das wäre ca. 44.2. Und der Punkt muss quasi immer in der Mitte der jeweiligen Seiten liegen (z.B. bei Seitenlänge 12 auf Höhe 6 sozusagen..). Aber ich komm jetzt nicht ganz weiter, wie ich die tatsächlichen Koordinaten ausrechne? Irgendwie ist es logisch aber ich komm einfach nicht richtig drauf. Hoffe jemand kann mir helfen!

Comments

Was ist ein Apex?

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Der höchste Punkt sozusagen, also hier die Spitze S der Pyramide

Answer 1

Meine Kristallkugel meint es ist keine rechtwinklige Pyramide sondern eine Rechteckspyramide.

Und weil es nur 2 Lösungen gibt, wohl auch noch eine Gerade dazu.

Der Apex ist dann wohl die Pyramidenspitze.

Da die Grundfläche 162 ist und Das Volumen 1944 muss die Höhe wohl 36 betragen.

Wie du auf 44.2 kommst ist mir rätselhaft.

Also berechne die beiden Punkte die sich 36 Einheiten senkrecht über und unter dem Lotfußpunkt der Grundfläche befinden.

Comments

Als Spitze der Pyramide erhalte ich die Ortsvektoren

S1 = [25, 30, 20]
S2 = [-15, -18, -12]

Sorry. Erste Angabe enthielt einen gravierenden Fehler.

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Stimmt, ist eine Pyramide mit einem Rechteck als Basis.

Die Basis ist 11*12 (geht doch aus den Koordinaten hervor?) und damit ist die Fläche 132. (meine ich zumindest).. so bin ich auf die Höhe von 44.2 gekommen.

Wie ich weiter rechnen soll, auch wenn ich den Fusspunkt hab weiss ich einfach nicht, weil das ganze ja dreidimensional und schräg ist.. wärst du so freundlich und könntest mir die Lösung mit der dazugehörigen Rechnung geben?

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Berechne mal die Länge von A nach B und von A nach D.

Und es sind nicht 11 und 12.

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oh shit, stimmt! das hab ich vorher sogar schonmal gemacht. klar, mit 12.73*12.73 kommt man natürlich auf 162. aber dann ist die höhe doch 36, nicht 12? weil 3v/b wäre ja die höhe...

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Ja. Hab ich oben bereits geändert. Hatte den Faktor 3 tatsächlich vergessen.

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also sind die zwei Punkte die Lösung(en)?

S1 = [25, 30, 20]
S2 = [-15, -18, -12]

und wie genau hast du die jetzt berechnet? weil wie gesagt ist ja die Pyramide im 3d räum schräg und ich versteh das irgendwie nicht ganz..

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Du hast die 4 Punkte A, B, C und D einer Ebene.

Kannst du die Ebene in Parameter- Normalen- und Koordinatenform aufstellen? Das brauchst du nicht tun sondern nur mal nachdenken ob du es könntest.

Du brauchst zumindest für die letzten beiden Gleichungen der Ebene den Normalenvektor. Den solltest du jetzt mal ermitteln. Ebenso solltest du den Mittelpunkt der Grundfläche ABCD Ermitteln. Also den Punkt der Sich in der Mitte zwischen A und C befindet.

Schaffst du das?

Answer 2

Der Fußpunkt F der Höhe ist der Mittelpunkt von AC: F(5|6|4). Die Richtung von F auf die Spitze E der Pyramide ist  \( \vec{FS} \)=\( \vec{AB} \) ×\( \vec{BC} \). Dividiere \( \vec{FS} \) durch seine Länge und multipliziere mit der Höhe, dann erhältst du \( \vec{FE} \).