Vermutung ist, dass wie hier den Isomorphiesatz anwenden müssen. Aber wie, wissen wir nicht wirklich :(
Ich kann euch was zum Homomorphiesatz sagen:
Betrachtet die Abbildung
$$ g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} / \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \mapsto \overline{\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right)} $$
Hier braucht man die Wohldefiniertheit nicht wirklich zu zeigen. Was sollte schief gehen? Beim f ist die Definition von Vertretern abhängig, das könnte Probleme machen. Bei g ist das aber nicht so.
Linearität: nachrechnen.
Surjektivität:
Für jede Restklasse \( \overline{\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)} \in \mathbb{R}^{2} / \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)\) ist
$$ \overline{\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)} = \overline{\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)-\frac{y}{2}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2\end{array}\right)} = \overline{\left(\begin{array}{c} x - \frac{y}{2} \\ 0\end{array}\right)} $$
Das hat sicherlich mindestens ein Urbild unter g, z.B. (x-y/2,0). Also ist g surjektiv.
\( \ker g = \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ -1\end{array}\right) \) sollte auch nicht überraschen. Das rechnet man auch schnell nach.
Es gilt
$$ \overline{\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right)} = \overline{\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)} \iff \left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2} \\ 0\end{array}\right) \in \operatorname{Lin}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)$$
Nach dem Homomorphiesatz ist die Abbildung f dann ein wohldefiniert Isomorphismus.