Aloha :)
zu i) Integriere zunächst die erste Koordinate \(F_1\) nach \(x\):$$\int \left(e^y+\cos(x)\cos(y)\right)\,dx=xe^y+\sin(x)\cos(y)+C(y)$$Die Integrations-"Konstante" \(C(y)\) darf noch von \(y\) abhängen, sie fällt ja bei der partiellen Ableitung nach \(x\) wieder weg.
Nun leite die gefundene Stammfunktion partiell nach \(y\) ab und vergleiche das Ergebnis mit der zweiten Kooridnate \(F_2\):$$\underbrace{xe^y-\sin(x)\sin(y)+C'(y)}_{\text{Ableitung der Stammfunktion}}\stackrel!=\underbrace{xe^y-\sin(x)\sin(y)}_{=F_2}\implies C'(y)=0\implies C(y)=\text{const}$$
Wir wählen als Konstante \(C(y)=0\) und erhalten als Potential:$$\phi(x;y)=xe^y+\sin(x)\cos(y)$$
zu ii) Folge wieder demselben Prinzip. Das Integral von \(F_1\) nach \(x\) ist aber fummelig. Deswegen fange ich mit dem Integral von \(F_3\) nach \(z\) an:$$\int x^3\cos(xz)\,dz=x^3\frac{\sin(xz)}{x}+C(x;y)=x^2\sin(xz)+C(x;y)$$Die Integrations-"Konstante" \(C(x;y)\) darf nicht mehr von \(z\) abhängen.
Wir leiten partiell nach \(y\) ab und vergleichen mit \(F_2\):$$0+\frac{\partial}{\partial y}C(x;y)\stackrel!=x^2\sin(xz)+3y^2\implies C(x;y)=y\,x^2\sin(xz)+y^3$$Da \(C(x;y)\) nicht von \(z\) abhängen darf, die rechte Seite aber die Variable \(z\) enthält, gibt es hier kein Potential.
zu iii) Wir beginnen mit dem Integral von \(F_1\) nach \(dx\):$$\int(y^2+2xz)\,dx=xy^2+x^2z+C(y;z)$$Wir leiten partiell nach \(y\) ab und vergelichen mit \(F_2\):$$2xy+\frac{\partial C(y;z)}{\partial y}\stackrel!=z^2+2xy\implies\frac{\partial C(y;z)}{\partial y}=z^2\implies C(y;z)=yz^2+C_2(z)$$Langsam nimmt unsere Kandidat Form an:\(\quad xy^2+x^2z+yz^2+C_2(z)\)
Wir leiten partiell nach \(z\) ab und vergleichen mit \(F_3\):$$x^2+2yz+C'_2(z)\stackrel!=x^2+2yz\implies C'_2(z)=0\implies C_2(z)=\text{const}$$
Wir wäheln \(C_2(z)=0\) und haben ein Potential gefunden:$$\phi(x;y;z)=xy^2+x^2z+yz^2$$
