Überprüfen Sie jeweils, ob die Funktion F auf ihrem Definitionsbereich ein Potential besitzt

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie jeweils, ob die Funktion $F$ auf ihrem Definitionsbereich ein Potential besitzt und berechnen Sie diese gegebenenfalls.
(i) $F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ mit $F(x, y)=\left(\begin{array}{c}e^{y}+\cos (x) \cos (y) \\ x e^{y}-\sin (x) \sin (y)\end{array}\right)$,
(ii) $F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}2 x \sin (x z)+x^{2} z \cos (x z) \\ x^{2} \sin (x z)+3 y^{2} \\ x^{3} \cos (x z)\end{array}\right)$,
(iii) $F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ; F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}y^{2}+2 z x \\ z^{2}+2 x y \\ x^{2}+2 y z\end{array}\right)$

Answer 1

Aloha :)

zu i) Integriere zunächst die erste Koordinate $F_1$ nach $x$:$$\int \left(e^y+\cos(x)\cos(y)\right)\,dx=xe^y+\sin(x)\cos(y)+C(y)$$Die Integrations-"Konstante" $C(y)$ darf noch von $y$ abhängen, sie fällt ja bei der partiellen Ableitung nach $x$ wieder weg.

Nun leite die gefundene Stammfunktion partiell nach $y$ ab und vergleiche das Ergebnis mit der zweiten Kooridnate $F_2$:$$\underbrace{xe^y-\sin(x)\sin(y)+C'(y)}_{\text{Ableitung der Stammfunktion}}\stackrel!=\underbrace{xe^y-\sin(x)\sin(y)}_{=F_2}\implies C'(y)=0\implies C(y)=\text{const}$$

Wir wählen als Konstante $C(y)=0$ und erhalten als Potential:$$\phi(x;y)=xe^y+\sin(x)\cos(y)$$

zu ii) Folge wieder demselben Prinzip. Das Integral von $F_1$ nach $x$ ist aber fummelig. Deswegen fange ich mit dem Integral von $F_3$ nach $z$ an:$$\int x^3\cos(xz)\,dz=x^3\frac{\sin(xz)}{x}+C(x;y)=x^2\sin(xz)+C(x;y)$$Die Integrations-"Konstante" $C(x;y)$ darf nicht mehr von $z$ abhängen.

Wir leiten partiell nach $y$ ab und vergleichen mit $F_2$:$$0+\frac{\partial}{\partial y}C(x;y)\stackrel!=x^2\sin(xz)+3y^2\implies C(x;y)=y\,x^2\sin(xz)+y^3$$Da $C(x;y)$ nicht von $z$ abhängen darf, die rechte Seite aber die Variable $z$ enthält, gibt es hier kein Potential.

zu iii) Wir beginnen mit dem Integral von $F_1$ nach $dx$:$$\int(y^2+2xz)\,dx=xy^2+x^2z+C(y;z)$$Wir leiten partiell nach $y$ ab und vergelichen mit $F_2$:$$2xy+\frac{\partial C(y;z)}{\partial y}\stackrel!=z^2+2xy\implies\frac{\partial C(y;z)}{\partial y}=z^2\implies C(y;z)=yz^2+C_2(z)$$Langsam nimmt unsere Kandidat Form an:$\quad xy^2+x^2z+yz^2+C_2(z)$

Wir leiten partiell nach $z$ ab und vergleichen mit $F_3$:$$x^2+2yz+C'_2(z)\stackrel!=x^2+2yz\implies C'_2(z)=0\implies C_2(z)=\text{const}$$

Wir wäheln $C_2(z)=0$ und haben ein Potential gefunden:$$\phi(x;y;z)=xy^2+x^2z+yz^2$$