Beschränktheit, Abgeschlossenheit

Question

Aufgabe:

Seien folgende Funktionen gegeben: f(x, y) = x^2 - 3xy und g(x, y) = x^2 + 3y^2 - 1,
K := {(x, y) ∈  R^2 : g(x, y)=0}.
(i) Zeigen Sie, dass die Menge K beschränkt und abgeschlossen ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand mit Rechenschritten erklären, wie ich die Aufgabe zu lösen habe?

Ich weiß dass es mathematisch nicht ganz korrekt ist, aber das wäre mein Ansatz

Sei \( \left(x_{n}, y_{n}\right) \) eine konvegente Folge \(mit\)
\( \left(x_{n}, y_{n}\right) \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}(x, y) \ ∈M \)
\( \begin{array}{l} 0=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 0 \leqslant \underbrace{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{2}+3 y_{n}^{2}}_{=x^{2}+3 y^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1=1 \\ \Rightarrow \text { Abgeschlossen } \end{array} \)
\( \max \{|x|,|y|\}=1 \), denn wären \( x \) und \( y \) größer als 1 , dann \( \neq 1 \).
\( \Rightarrow \) Somit beschränkt \( \checkmark \)

Vielen Dank schon einmal :)

Comments

siehe oben, habs nun bearbeitet

Answer 1

Aloha :)

Die Menge \(K\) enthält alle Lösungen der Gleichung:$$x^2+3y^2=1$$

In Polarkoordinaten lauten die Lösungen$$\binom{x}{y}=\binom{\cos\varphi}{\frac{1}{\sqrt3}\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Das ist der abgeschlossene Rand einer Ellipse mit den Halbachsen \(1\) und \(\frac{1}{\sqrt3}\).

Answer 2

Wir haben \(x^2+(\sqrt{3}y)^2=1\), also \(|x|\leq 1\) und

\(|\sqrt{3}y|\leq 1\iff |y|\leq 1/\sqrt{3}\).

Die Menge ist also beschränkt.

Da \(g(x,y)=x^2+3y^2-1\) stetig ist, ist die Menge als Urbildmenge

der abgeschlossenen Menge \(\{0\}\) abgeschlossen:

\(K=g^{-1}(\{0\})\)