Aufgabe:
Seien folgende Funktionen gegeben: f(x, y) = x^2 - 3xy und g(x, y) = x^2 + 3y^2 - 1,
K := {(x, y) ∈ R^2 : g(x, y)=0}.
(i) Zeigen Sie, dass die Menge K beschränkt und abgeschlossen ist.
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand mit Rechenschritten erklären, wie ich die Aufgabe zu lösen habe?
Ich weiß dass es mathematisch nicht ganz korrekt ist, aber das wäre mein Ansatz
Sei \( \left(x_{n}, y_{n}\right) \) eine konvegente Folge \(mit\)
\( \left(x_{n}, y_{n}\right) \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}(x, y) \ ∈M \)
\( \begin{array}{l} 0=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 0 \leqslant \underbrace{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{2}+3 y_{n}^{2}}_{=x^{2}+3 y^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1=1 \\ \Rightarrow \text { Abgeschlossen } \end{array} \)
\( \max \{|x|,|y|\}=1 \), denn wären \( x \) und \( y \) größer als 1 , dann \( \neq 1 \).
\( \Rightarrow \) Somit beschränkt \( \checkmark \)
Vielen Dank schon einmal :)
