Beim Gradientenabstiegsverfahren handelt es sich um ein Verfahren, dass in Richtung des steilsten Abstiegs einer Raumkurve ein Minimum sucht. Wenn \( f(x) \in \mathbb{R} \) mit \( x \in \mathbb{R}^3 \) die Funktion ist, die minimiert werden soll, dann sieht das rekursive Verfahren zum finden des Minimums so aus
$$ (1) \quad x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha_k \nabla f \left( x^{(k)} \right) $$
mit einer in jedem Iterationsschritt noch zu bestimmenden Schrittweit \( \alpha_k \).
In Deinem Fall soll \( \alpha_k \) wie folgt bestimmt
Sei $$ (2) \quad \Phi(\alpha_k) = f \left[ x - \alpha_k \nabla f \left( x^{(k)} \right) \right] $$ dann sucht man das kleinste \( \alpha_k \) das die Funktion \( \Phi(\alpha_k) \) minimiert.
Das bedeutet, man sucht das Minimum der Nullstellen von \( \phi'(\alpha_k) \) für die \( \phi''(\alpha_k) > 0 \) gilt.
Soweit das Allgemeine.
Nun zu den Aufgaben. Zuerst
Fall c
Zuerst muss man den Gradienten an der Stelle \( x=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right] \) finden und überprüfen ob der Gradient ein Vielfaches der Richtungsvektoren \( d_i \) mit \( i= 1,2 \) ist.
Zu d
Hier muss aus (2) \( \alpha_0 \) bestimmt werden und dann aus (1) \( x^{(1) } \)