Wie groß ist sein Radius x?

Question

Hallo!

Aufgabe: Die Figur wird von der Strecke AB und zwei Kreisbögen mit den Mittelpunkten A und B begrenzt. Der Figur wird ein Kreis eingeschrieben. Wie groß ist sein Radius x?

Ich weiß leider nicht was ich machen soll, kann mir bitte jemand helfen?

Danke im voraus:-)

Comments

Die Lösung über den Pythagoras - also aus $\left(R/2\right)^2+x^2 = (R-x)^2$ im grün markierem Dreieck das $x$ berechnen - ist ein wenig langweilig. Es gibt Alternativen:

Ich betrachte dazu alle(!) im folgenden grün markierten Kreise, die den Kreis um $A$ innen und die Gerade durch $AB$ von oben berühren:

Die beiden Strecken, die sich jeweils aus dem gelben und dem schwarzen Streckenabschnitt zusamen setzen, sind konstant $=|AB|=R$ und gleich lang. Also sind auch die beiden gelben Strecken gleich lang, nämlich $R-x$, wenn man mit $x$ jeweils den Radius eines grünen Kreises bezeichnet.

Daraus folgt, dass die Mittelpunke $M$ aller grünen Kreise sich auf einem Parabelbogen befinden, da der Mittelpunkt vom Punkt $A$ und von der Parallelen (blau gestrichelt) zu $AB$ immer den gleichen Abstand hat (s. Definition einer Parabel).

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im Punkt $S$. Eine Parabel 'wächst' stets qudratisch daher muss die rote Strecke bzw. Auslenkung der Parabel auf der Hälfte zwischen den Punkten $S$ und $B$ 1/4 der Strecke beim Punkt $B$ betragen.

Folglich ist der Wert für $x$ an der gesuchten Stelle$$x = \frac R2 - \frac14 \cdot \frac R2 = \frac 38 R = 6 \quad\quad R = |AB| = 16$$

Answer 1

Das grüne Dreieck sieht doch schon mal sehr schön aus.

        $\sqrt{x^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} + x = 16$

Answer 2

√(x² + 8²) + x = 16

√(x² + 64) = 16 - x

x² + 64 = 256 - 32·x + x²

32·x = 192

x = 6

Eine Probe bestätigt diese Lösung.