relativer Fehler Grundoperation

Question

Aufgabe:

Fortpflanzung von Fehlern bei der Durchführung der vier arithmetischen Grundoperationen \( (+,-, \cdot, /) \)

Die Zahlen \( x \) und \( y \) seien mit Fehlern \( \Delta x \) und \( \Delta y \) behaftet, wobei \( \left|\frac{\Delta x}{x}\right|,\left|\frac{\Delta y}{y}\right| \ll 1 \) gelte. Zeigen sie, dass selbst bei exakter Rechnung (also ohne weitere Rundungsfehler) für die relativen Fehler der Ergebnisse die folgenden Aussagen gelten:
\( \frac{(x+\Delta x)+(y+\Delta y)-(x+y)}{x+y}=\frac{x}{x+y} \cdot \frac{\Delta x}{x}+\frac{y}{x+y} \cdot \frac{\Delta y}{y} \)

Answer 1

Umformung der rechten Seite:

Im ersten Produkt x kürzen, im zweiten y kürzen, dann beide Brüche zu einem zusammenfassen.

Du erhältst

\( \frac{\Delta x-\Delta y}{x+y} \)

Addiere zum Zähler 0, aber nicht in Form von 0, sondern in Form von x-x+y-y.

Sortiere den so entstandenen Zähler in die Reihenfolge

x+Δx + y+Δy -x -y

um und setze die Klammern so, dass daraus (x+Δx) + (y+Δy) -(x+y) wird.

Answer 2

Hallo

das ist doch sehr einfaches Nachrechnen, lass die Klammern weg,  dann den Nenner auf Δx und Δy aufteilen und notfalls mit x bzw y erweitern,

lul

Comments

Danke für den Lösungsweg