Analysis I Aufgabe mit Beträgen und ε / fehlendes Verständnis

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ R gegeben mit der folgenden Eigenschaft: für jedes ε > 0 ist |a| < ε. (i) Zeigen Sie, dass a = 0 gilt.
(ii) Ist die Aussage (i) auch dann noch wahr, wenn man nur |a| ≤ ε für alle ε > 0 fordert?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe wirklich überhaupt nicht wie ich bei der Aufgabe rangehen soll bzw. was genau gefordert ist.

Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen, einen Ansatz zu finden, bzw überhaupt die Aufgabe zu erklären.

Answer 1

Sei a ∈ R gegeben mit der folgenden Eigenschaft: für jedes ε > 0 ist |a| < ε.

Angenommen es wäre a≠0. Dann wäre |a|>0.  Sei nun ε = |a| ,

Dann gilt jedenfalls |a| < ε nicht.    Also muss a=0 sein; denn dafür

ist die Aussage sicher wahr.

(ii)   Scheint mir auch zu stimmen:

Sei a ∈ R gegeben mit der folgenden Eigenschaft: für jedes ε > 0 ist |a| ≤ ε.

Angenommen es wäre a≠0. Dann wäre |a|>0. Sei nun ε = |a|/2 ,

Dann gilt jedenfalls |a| < ε nicht.   Also muss a=0 sein; denn dafür

ist die Aussage sicher wahr.