Zeigen Sie, dass für die durch

Question

Aufgabe:

Sei a > 0. Zeigen Sie, dass für die durch
xn+1 = xn(2 − axn)
rekursiv definierte Folge (xn) für jeden Anfangswert 0 < x1 < a1 gegen a1 konvergiert.

Comments

xn+1 = xn(2 − axn)

Wie heißt die Formel genau? Mit $$x_{n+1} = x_n (2 - a\cdot x_n)$$wird das nichts ... und wo kommt \(a_1\) her?

Answer 1

na du :-)

um konvergenz zu zeigen reicht es beschränktheit und monotonie zu zeigen (vielleicht habt ihr da auch nen satz)

zeige zunächst beschränktheit (zB per induktion) und folgere dann die monotonie

da der grenzwert für x_n+1 und x_n der gleiche sein muss (weil eindeutig) kannst du mit der bildungsvorschrift zeigen, dass der grenzwert 1/a ist

lg pati