Aufgabe:
Sei K ein Körper, und sei p = \( \sum\limits_{k=0}^{\ n}{} \) akXk ein Polynom sowie fp : K → K , fp(x) := \( \sum\limits_{k=0}^{\ n}{} \) akXk die zu p gehörende Polynomfunktion. Zeigen Sie: Wenn X0 ∈ K eine Nullstelle von fp ist, d. h. fp(X0) = 0, dann lässt sich p im Polynomring PolK ohne Rest durch das Polynom X − x0 teilen.
Problem/Ansatz:
Komme wie immer hier nicht weiter. Bitte um Hilfe :(
Die Polynomdivision liefert
\(p = q\cdot (X - x_0) + r\)
mit \(q,r\in \operatorname{Pol}_K\) und \(\operatorname{Grad}(r) < \operatorname{Grad}(X-x_0)\).
Weil \(p\) und \(q\cdot (X - x_0)\) bei \(x_0\) eine Nullstelle haben, hat auch \(r\) bei \(x_0\) eine Nullstelle.
Vielen vielen Dank , werde versuchen es umzusetzen.
ich kann leider damit nichts anfangen. Kannst du es bitte genauer erklären
Der Rest, von dem in der Aufgabenstellung die Rede ist, ist \(r\).
Begründe warum \(r = 0\) ist.
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