Konvergiert die Folge (n+1)*sqrt(n+1)-n*sqrt(n) oder divergiert diese?

Question

Aufgabe:

Konvergiert die Folge (n+1)*sqrt(n+1)-n*sqrt(n) oder divergiert diese?

Problem/Ansatz:

Mit Limes und ausklammern des teilglieds mit dem höchstens exponenten komme ich auf

eine nullfolge, der Tutor behauptet jedoch, dass diese Folge divergiert und verweist und weitere Erklärungen auf das einschließungskriterium.

Answer 1

Willst du jetzt hören das dein Tutor einen Fehler gemacht hat. Tut mir leid. Das ist keine Nullfolge. Das hättest du leicht überprüfen können, indem du dir das hättest plotten lassen.

~plot~ (x+1)*sqrt(x+1)-x*sqrt(x);[[0|1000|0|50]] ~plot~

Deinen Fehler können wir mangels Rechnung allerdings nicht erklären.

Comments

Ich habe es geplottet

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Deine geplottete Funktion sieht nicht mal stetig aus. Wie kommst du darauf, das die richtig sein könnte?

Das sieht so aus als wärst du an die Rechenungenauigkeit von Geogebra gestoßen.

Vielleicht vertraust du Wolframalpha mehr.

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(x + 1)^(3/2) - x^(3/2)

= ((x + 1)^(3/2) - x^(3/2))·((x + 1)^(3/2) + x^(3/2)) / ((x + 1)^(3/2) + x^(3/2))

= ((x + 1)^3 - x^3) / ((x + 1)^(3/2) + x^(3/2))

= (3·x^2 + 3·x + 1) / ((x + 1)^(3/2) + x^(3/2))

Wir schätzen den Zähler nach unten und den Nenner nach oben ab.

(3·x^2) / (2·(x + 1)^(3/2))

Jetzt solltest du spätestens sehen, dass es gegen Unendlich geht.

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Text erkannt:

(d)
\( \begin{array}{l} A_{n}=(n+1) \sqrt{n+1}-n \sqrt{n}=\left(\sqrt{n+1}^{3}\right)-(\sqrt{n})^{3} \\ =\left(\sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)^{3}-(\sqrt{n})^{3}=\sqrt{n}^{3}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}^{3}-\sqrt{1}\right) \\ =\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}^{3}(\sqrt{1-0}-\sqrt{1})^{3}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}^{3} \cdot 0=0 \\ \end{array} \)

Mit Limes komme ich auch auf eine nullfolge, was habe ich falsch gemacht?

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Du hast den Fall ∞·0

Das ist aber keine exakte Null sondern eben etwas mehr als Null und damit darfst du so nicht rechnen.

Beispiel

lim (x → ∞) x
= lim (x → ∞) x^2 * 1/x
= lim (x → ∞) x^2 * 0 = 0

Du siehst was da verkehrt läuft oder?

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Ja, okay vielen Dank für die Hilfe. Eine letzte Frage hätte ich noch, wenn man für n mehrere Werte über 10^15 einsetzt, sagt der Taschenrechner null und auch GeoGebra trotz aller möglicher Fehler gibt auch null raus. Bei solchen großen Werten für n deutet das doch auf eine nullfolge für unendlich hin oder rechnet der Taschenrechner falsch ?

Übrigens viel besser verstanden jetzt danke

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Die Gleitkommaarithmetik hat da so ihre Tücken. Der Taschenrechner und auch Geogebra rechnen da offensichtlich falsch.

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(n+1)*√(n+1) - n*√n =  ((n+1)^1,5 - n^1,5) / (n+1 - n)  =  1,5*√ν  mit  ν ≥ n

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Wie untersuche ich hier auf Konvergenz? Also ich weiss, dass die Folge nicht konvergiert, aber die Aufgabenstellung verlangt die Untersuchung auf Konvergenz mit dem epsilon Kriterium

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Das ε-Kriterium fordert, das der Grenzwert schon bekannt ist oder erraten wird.

Wenn wir jetzt 0 als Grenzwert annehmen, kannst du aber zeigen, dass jedes beliebige ε durch eine Wahl von n übertroffen wird.

(x + 1)^(3/2) - x^(3/2) > ε

Wie oben vorgemacht können wir das abschätzen

https://www.mathelounge.de/982930/konvergiert-die-folge-n-1-sqrt-n-1-sqrt-oder-divergiert-diese?show=982937#c982937

3·x^2/(2·(x + 1)^(3/2)) > ε
3·x^2/(2·(x + x)^(3/2)) > ε
3/8·√2·√x > ε
x > 32/9·ε^2

Für n ≥ x kann also jedes beliebige ε überschritten werden.

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Danke. Nur wo kommen die 3/2 her?

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Potenzgesetz

a^m * a^n = a^(m + n)

Hier z.B.

x * √x = x * x^(1/2) = x^(3/2)

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Vielen Dank!

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Eine letzte Frage. wieso wird aus x+1 unter dem Bruchstrich aufeinmal x+x?

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Ich darf den Nenner eines Bruches größer machen. Dadurch wird ja der Wert des Bruches kleiner.

Und wenn der Wert des Bruches dann größer ist als ε, dann ist der original Bruch es erst recht.

Answer 2

$$\sqrt{n+1}^3-\sqrt{n}^3=$$ $$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}^2+\sqrt{n}\sqrt{n+1}+\sqrt{n}^2)=$$Multiplizieren mit$$\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}:$$$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\cdot(2n+1+\sqrt{n^2+n})>$$$$\frac{2n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\sqrt{n}\cdot\sqrt{1-\frac{1}{n+1}}\rightarrow\infty$$für \(n\rightarrow \infty\).

Comments

Könnte man nicht einfach$$(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt n=n\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}-n\sqrt n=\underbrace{n\big(\sqrt{n+1}-\sqrt n\big)}_{>0}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}$$abschätzen?

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Klar ! Super ! Das ist viel einfacher !