Paraboloidabschnitt in Zylinderkoordinaten integrieren

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Ich würde zuerst die kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten, also x=r*cosΦ etc., umwandeln. Allerdings bin ich mir bei den Grenzen komplett Unsicher. Φ geht ja von 0 bis 2pi, aber beim Rest weiß ich nicht so recht.

Comments

Hast du schonmal probiert die kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten, also x=r*cosΦ etc., umzuwandeln?

Answer 1

In Zylinderkoordinaten \(r,\phi,z\)haben wir mit \(x=r\cos \phi,\; y=r\sin \phi\):$$-1\leq z\leq 0,\; 0\leq r^2\leq -z,\; 0\leq \phi \leq 2\pi$$

Das Integral ist somit:

$$I = \int_{z=-1}^0\int_{r=0}^{\sqrt{-z}}\int_0^{2\pi}\left( zr^2(sin^2\phi - \cos^2\phi) +1 \right)rd\phi dr dz $$

Da \(\int_0^{2\pi}(sin^2\phi - \cos^2\phi)d\phi = -\int_0^{2\pi}\cos 2\phi d\phi = 0\) ergibt sich

$$I = 2\pi \int_{z=-1}^0\int_{r=0}^{\sqrt{-z}} rdr dz = \frac{\pi}2$$

Comments

Echt super erklärt! Ich hatte auch diese Grenzen habe diese aber verworfen weil ich dachte das kein negativer Wert in die Wurzel darf. Allerdings hebt sich diese bei der Integration ja auf.

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Da ja z negativ oder Null ist, ist -z dann wieder positiv bzw. Null. Deshalb funzt das alles.

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Ah ja super (:

Answer 2

Aloha :)

1) Einführung von Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten lauten allgemein:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in\mathbb R$$Diesen Ortsvektor \(\vec r\) müssen wir so einschränken, dass alle Punkte der Menge \(B_0\) abgetastet werden. Daher müssen wir die folgende Bedingung erfüllen:$$-1\le z\le-(x^2+y^2)=-((r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2)=-r^2\implies z\in[-1;-r^2]$$Das führt uns auf folgende Parametrisierung von \(B_0\):$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[-1;-r^2]$$

2) Integral in Zylinderkoordinaten formulieren

Durch den Übergang zu Zylinderkoordinaten wird das kartesiche Volumenelement \(dV\) verzerrt. Daher müssen wir auch das Volumenelement in Zylinderkoordinaten schreiben. Dieses lautet:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Das führt uns auf folgendes Integral:$$I=\iiint\limits_{B_0}(y^2z-x^2z+1)\,dx\,dy\,dz=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=-1}^{-r^2}(\underbrace{r^2\sin^2\varphi}_{=y^2}\,z-\underbrace{r^2\sin^2\varphi}_{=x^2}\,z+1)\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi\,dz}_{=dV}$$$$\phantom I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=-1}^{-r^2}(r^2\,\underbrace{(\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}_{=\cos2\varphi}\,z+1)\,r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=-1}^{-r^2}(r^3\cos2\varphi+r)\,dr\,d\varphi\,dz$$

3) Integral berechnen

Wenn wir dem Tipp folgen und zuerst über \(d\varphi\) integrieren, fällt der \(\cos2\varphi\)-Term raus:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{z=-1}^{-r^2}\left[\frac12r^3\sin2\varphi+r\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr\,dz=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{z=-1}^{-r^2}2\pi r\,dr\,dz$$$$\phantom I=\int\limits_{r=0}^1\left[2\pi rz\right]_{z=-1}^{-r^2}dr=-\int\limits_{r=0}^1\left(2\pi r-2\pi r^3\right)dr=-2\pi\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^1=-\frac\pi2$$

Comments

Super vielen Dank!

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Super vielen Dank!

Weißt Du denn, welches Ergebnis richtig ist? \(\pi/2\) oder \(-\pi/2\)?