Polynomfunktionen, Funktionen, Eigenschaften,

Question

Die Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grades hat allgemein die Form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d a,b,c,d sind Reelle zahlen und a ist nicht 0.

Stimmt die Aussage: es gibt Polynomfunktionen 3.Grades, die mehr als eine Wendestelle haben

Problem/Ansatz:

Meiner Meinung nach schon. In den Lösungen steht dass diese Aussage aber falsch ist. Warum?

Answer 1

Hallo,

Wendestellen berechnest du mit der zweiten Ableitung. Hier ist die zweite Ableitung eine lineare Funktion, die nur eine Nullstelle hat. Darum gibt es nur einen Wendepunkt.

Answer 2

Für Wendestellen hat die 2. Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d
f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b = 0

Für a ≠ 0 ist dies eine lineare Funktion, welche genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. Also hat jede Funktion 3. Grades immer exakt eine Wendestelle.