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Aufgabe:

Beweise, dass für a1, a2, a3 > 0 

\( ln(\frac{a_1+a_2+a_3}{3})  \geq \frac{ln (a_1) + ln(a_2) + ln(a_3)}{3} \)

gilt.


Problem/Ansatz:

Komme immer bis zur dieser Umformung

ln(a1+a2+a3)3 ≥ ln(9a1a2a3)

höre aber dann auf weil es zu kompliziert wird. (Setzte es ab da mit e hoch)

Gibt es einen schlaueren Weg diese Aufgabe zu lösen. Oder muss ich mich da durch kämpfen?

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Vielleicht hilft die AM-GM-Ungleichung \(\displaystyle\;\frac{a_1+a_2+a_3}3\ge\sqrt[3\,]{a_1{\cdot}a_2{\cdot}a_3}\;\) weiter.

\(\ln t\) ist konkav und die Behauptung folgt dann direkt aus der Jensenschen Ungleichung.


Oder eben \(e^{...}\) auf die Ungleichung anwenden und dann AM-GM benutzen.

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\(ln(\frac{a_1+a_2+a_3}{3})  \geq \frac{ln (a_1) + ln(a_2) + ln(a_3)}{3} |•3 \)

\(3•ln(\frac{a_1+a_2+a_3}{3}) ≥ ln (a_1•a_2•a_3) \)

\(ln(\frac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3^3}) ≥ ln (a_1•a_2•a_3)| e \)

\(\frac{(a_1+a_2+a_3)^3}{27}≥ a_1•a_2•a_3 \)

\((a_1+a_2+a_3)^3≥ 27•a_1•a_2•a_3 \)

Avatar von 42 k

Ich beginn ja dann (a1+a2+a3)3 aufzulösen, dann die 27a1a2a3 rüber zu packen. Hab ich dann nicht einen Riesen großen Term welcher dann > 0. Ist man dann fertig?

Bei der Auflösung von (a1+a2+a3)3 kommt auch was mit a1*a2*a3.

Nach dem "auf die linke Seite bringen" kannst du das noch verrechnen. Damit müsste der Beweis erbracht sein.

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