Sandwich Lemma Beweis

Question

Es seien \( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}^{+} \). Zeigen Sie
\( \lim \limits_{\alpha \rightarrow \infty}\left(\frac{x_{1}^{\alpha}+x_{2}^{\alpha}+\cdots+x_{n}^{\alpha}}{n}\right)^{\frac{1}{\alpha}}=\max \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\} \)

Hinweis Sandwich Lemma

Answer 1

Definiere \(x=\max \lbrace x_1, x_2,\ldots,x_n\rbrace\) für ein fest gewähltes \(n\in\N\).$$❶\quad\left(\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+\ldots+x_n^\alpha}n\right)^\frac1\alpha\le\left(\frac{n\cdot x^\alpha}n\right)^\frac1\alpha=x.$$$$❷\quad\left(\frac{x_1^\alpha+x_2^\alpha+\ldots+x_n^\alpha}n\right)^\frac1\alpha\ge\left(\frac{x^\alpha}n\right)^\frac1\alpha=\left(\frac1n\right)^\frac1\alpha\cdot x.$$Verwende \(\displaystyle\lim_{\alpha\to\infty}\left(\frac1n\right)^\frac1\alpha=1\).

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