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Aufgabe:

Betrachten Sie zum einen den Wurf zweier unterscheidbarer Würfel und den zweier ununterscheidbarer Würfel:


a)Bestimmen Sie zu beiden Zufallsexperimenten die zugehörigen Wahrscheinlichkeit
für alle Elemente der Wahrscheinlichkeitsräume.


b)Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X, welche die
Differenz (größeres Ergebnis minus kleineres) der obigen Würfel abbildet


Problem/Ansatz:

a) unterscheidbare Würfel

Augensumme 2: 1/36

A3: 2/36

...

A12: 1/36

ununterscheidbare Würfel

A2: 1/21

A3: 1/21

A4: 2/21

...

A12: 1/21


b) für b hab ich leider keinen Ansatz...

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a) unterscheidbare Würfel
Augensumme 2: 1/36

...

ununterscheidbare Würfel
A2: 1/21

Das heißt wenn ich einen der zwei weißen Würfel schwarz anmale hat das Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit.

für alle Elemente der Wahrscheinlichkeitsräume.

Der Wahrscheinlichkeitsraum wird üblicherweise nicht als Menge angesehen, hat also keine Elemente.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht unter anderem aus einer Ergebnismenge und einer Ereignismenge.

Von welcher Menge ist hier die Rede?

Unabhängig davon ist es eine gute Idee, zunächst ein mal die Wahrscheinlichkeitsräume zu spezifizieren.

b)Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung von der Ergebnismenge eines Wahrscheinlichkeitsraumes in die Ergebnismenge eines Ereignisraumes.

Wenn du unter a) die Menge der möglichen Augensummen als Ergebnismenge festlegst, dann ist es nicht möglich, diese zu verwenden um X zu spezifizieren.

Verwende

        \(\Sigma_u\coloneqq \{1,2,3,4,5,6\}^2\)

als Ergebnismenge für unterscheidbare Würfel und

        \(\Sigma_{uu}\coloneqq\{\{(a,b), (b,a)\}|(a,b) \in \Sigma_u\}\)

als Ergebnismenge für ununterscheidbare Würfel.

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Heißt bei a) ist es so:

1) unterscheidbar: jedes Element des Wahrscheinlichkeitsraums liegt bei 1/36

"9 bei ununterscheidbaren (die reihenfolge der gewürfelten Zahlen egal) für jedes Element des Wahrscheinlichkeitsraums liegt bei 1/21 ?


b) könntest du als Erklärung die zweite Ereignismenge in Worten ausdrücken?

jedes Element des Wahrscheinlichkeitsraums

Ich habe bereits auf die Problematik dieser Formulierung aufmerksam gemacht.

wenn ich einen der zwei weißen Würfel schwarz anmale hat das Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit.

Hältst du diese Aussage für plausibel?

b) könntest du als Erklärung die zweite Ereignismenge in Worten ausdrücken?

\(\Sigma_u\) ist die Menge aller Paare, die man aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 bilden kann.

Die Elemente von \(\Sigma_{uu}\) werden gebildet indem jedes Paar \((a,b)\in \Sigma_u\) mit dem Paar \((b,a)\) zu der Menge \(\{(a,b), (b,a)\}\) zusammengefasst wird.

Klar klingt plausibel, oder zum Beispiel einer ist größer als der andere…

Achso heißt dass das die Dichte von ununterscheidbaren Würfeln nicht berechnet werden kann? Oder ist das einfach die „Kurzschrift“?

Klar klingt plausibel, oder zum Beispiel einer ist größer als der andere…

Es ist nicht plausibel, dass die Farbe Einfluss auf die relative Häufigkeit bestimmter Augensummen hat.

Die Wahrscheinlichkeit soll die relative Häufigkeit voraussagen. Es ist deshalb nicht plausibel, dass die Farbe Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit bestimmter Augensummen hat.

In dem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Sigma_u,\mathcal{P}(\Sigma_u), P_u)\) ist die Dichte \(\rho_u\) gegeben durch

        \(\rho_u(\omega) = \frac{1}{36}\)

für alle \(\omega \in \Sigma_u\).

In dem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Sigma_{uu},\mathcal{P}(\Sigma_{uu}), P_{uu})\) ist die Dichte \(\rho_{uu}\) gegeben durch

        \(\rho_{uu}(\omega) = \frac{|\omega|}{36}\)

für alle \(\omega \in \Sigma_{uu}\).

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