Reihe lösen analysis eins

Question

Aufgabe:

\( \begin{array}{l}\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3}{k^{2}+5 k+4} \quad \text { PBZ: } \quad \frac{3}{k^{2}+5 k+4}=\frac{3}{(k+1)(k+4)}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+4} \\ s_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{3}{k^{2}+5 k+4}=\sum \limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+4}\right)=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+4} \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{n+4}\right) \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}\right) \text {. } \\ \text { Man erhält: } \lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-(0+0+0)=\underline{\underline{12/13}} \text {. } \\\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir wer erklären, wie man die n+1 da in eine Klammer zusammenfasst? Was passiert in dem Schritt? Den Rest habe ich verstanden.

Answer 1

Hast du mal die Summanden zum Beipsiel für \(n=8\) aufgeschrieben?
Dann siehst du, was passiert.

Hier im allgemeinn für \(n\geq 3\):

Erstmal ein kleiner Index-Shift für die zweite Summe:

$$\sum_{i=1}^{n}\frac 1{i+4} \stackrel{k=i+3}{=}\sum_{k=4}^{n+3}\frac 1{k+1}$$

Damit hast du

$$\sum_{k=1}^{n}\frac 1{k+1} - \sum_{k=4}^{n+3}\frac 1{k+1}$$$$=\sum_{k=1}^{3}\frac 1{k+1} + \sum_{k=4}^{n}\left(\frac 1{k+1}- \frac 1{k+1}\right) - \sum_{k=n+1}^{n+3}\frac 1{k+1}$$

$$= \frac 12 + \frac 13 + \frac 14  - \sum_{k=n+1}^{n+3}\frac 1{k+1}$$