Handelt es sich beim Integral von a nach b |f-g| um eine Metrik?

Question

Aufgabe:

\( d_{2}(f, g)=\int \limits_{a}^{b}|f-g| \) d \( x \) für \( X=C([a, b], \mathbb{R}) \) mit \( -\infty<a<b<\infty \).

Problem/Ansatz:

Ich soll entscheiden, ob es sich hierbei um eine Metrik handelt und dies auch Beweisen! Grundsätzlich müsste man dafür glaube ich die Positivität, die Symmetrie und die Dreiecksungleichung zeigen - jetzt weiß ich aber schon nicht weiter?

Answer 1

1. Klar ist \(d\) symmetrisch, da \(|f-g|=|g-f|\) gilt.

2. vorläufige Skizze für die Positivität:

wenn f und g stetig sind, dann auch f-g, daraus folgt:

\(f\neq g\Rightarrow \exists x_0\in X: \quad (f-g)(x_0)\neq 0\).

Stetigkeit hat zur Folge, dass es ein \(\epsilon>0\) gibt mit

\((|f-g|)(y)\geq |f-g|(x_0)/2\) für alle \(y\in U_{\epsilon}(x_0)\).

Damit ist \(\int_a^b |f-g|dx\geq 2\epsilon/2 \cdot |f-g|(x_0)>0\).

Muss sicher noch exakter ausformuliert werden ....