Handelt es sich beim Integral von a nach b |f-g| um eine Metrik?

Question

Aufgabe:

$d_{2}(f, g)=\int \limits_{a}^{b}|f-g|$ d $x$ für $X=C([a, b], \mathbb{R})$ mit $-\infty<a<b<\infty$.

Problem/Ansatz:

Ich soll entscheiden, ob es sich hierbei um eine Metrik handelt und dies auch Beweisen! Grundsätzlich müsste man dafür glaube ich die Positivität, die Symmetrie und die Dreiecksungleichung zeigen - jetzt weiß ich aber schon nicht weiter?

Answer 1

1. Klar ist $d$ symmetrisch, da $|f-g|=|g-f|$ gilt.

2. vorläufige Skizze für die Positivität:

wenn f und g stetig sind, dann auch f-g, daraus folgt:

$f\neq g\Rightarrow \exists x_0\in X: \quad (f-g)(x_0)\neq 0$.

Stetigkeit hat zur Folge, dass es ein $\epsilon>0$ gibt mit

$(|f-g|)(y)\geq |f-g|(x_0)/2$ für alle $y\in U_{\epsilon}(x_0)$.

Damit ist $\int_a^b |f-g|dx\geq 2\epsilon/2 \cdot |f-g|(x_0)>0$.

Muss sicher noch exakter ausformuliert werden ....