U g. d. bezüglich der induzierten Metrik offen ist, w. eine offene Teilmenge V ⊂ ℝ^n existiert, sodass U=M∩V gilt.

Question

Aufgabe:

Sei M ⊂ ℝ^n. Die auf M durch ℝ^n induzierte Metrik d_M sei gegeben durch d_M(x,y) := ||x-y||₂ ; x,y∈M

Sei U⊂M eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass U genau dann bezüglich der induzierten Metrik offen ist, wenn eine offene Teilmenge V ⊂ ℝ^n existiert, sodass U=M∩V gilt.

Problem/Ansatz:

Mir ist leider nicht klar, wie ich die Offenheit einer Menge mit Hilfe der induzierten Metrik zeigen kann.

Vielen Dank, für jede Hilfe

Comments

Die Aussage ist recht naheliegend. Wenn sie als Aufgabe gestellt ist, muss man sich auf die Definition von offenen Mengen beziehen. Also wie genau habt Ihr definiert: Eine Teilmenge eines metrischen Raum ist offen.