Induktionsaufgabe mit Induktionsbeweis

Question

Aufgabe: Induktionsbeweis

$$\sum\limits_{k}^n (2k-1)^2 = \frac{1}{3} n *(4n^2-1)$$

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang n=1 ist mir klar

Induktionsvoraussetzung gilt

Induktionsschritt von n → n+1

$$\sum\limits_{k}^{n+1} (2k-1)^2 = \sum\limits_{k}^n (2k-1)^2 + 2(n+1)-1)^2$$

$$= IV \frac{1}{3} n (4n^2-1) + (2n+2-1)^2$$

$$= \frac{1}{3} n (4n^2-1)+ (2n+1)^2$$

Weiter komme ich leider nicht

Answer 1

Hier kann es nützlich sein, sich den "Zielterm" für \(n+1\) genauer anzuschauen:

$$\frac 13 (n+1)(4(n+1)^2 - 1) = \frac 13(n+1)(2(n+1)+1)(2(n+1)-1)$$$$=\frac 13(n+1)(2n+3)(2n+1)$$

Das im Hinterkopf rechnest du weiter:

$$ \frac{1}{3} n (4n^2-1)+ (2n+1)^2 \stackrel{4n^2-1 = (2n+1)(2n-1)}{=} \frac 13(2n+1)\left(n(2n-1) + 3(2n+1)\right)$$

$$=\frac 13(2n+1)\underbrace{(2n^2+5n+3)}_{=(n+1)(2n+3)} = \frac 13(n+1)(2n+3)(2n+1)$$

Bingo!

Comments

Hallo trancelocation, danke für den Tipp mit dem Umschreiben, ich wusste nicht, ob ich das allgemein darf.