Terme lösen (Induktionsaufgabe)

Question

Aufgabe:

Ich soll eine vollständige Induktion durchführen, jedoch bekomme ich es nicht ganz hin.

$\sum \limits_{i=1}^{n} i * 2^{i}=(\mathrm{n}-1) * 2^{n+1}+2$

$\sum \limits_{i=1}^{n+1} i * 2^{i} = ((\mathrm{n}+1)-1) * 2^{((n+1)+1)}+2$

$\sum \limits_{i=1}^{n} i * 2^{i}+(\mathrm{n}+1)^{*} 2^{(n+1)}$

$=(n-1) * 2^{n+1}+2+(n+1)^{*} 2^{(n+1)}$

Ab hier kann ich nicht ausklammern bzw. hab da meine Schwierigkeiten.

Answer 1

Aloha :)

Behauptung:$\quad\sum\limits_{i=1}^ni\cdot2^i=(n-1)\cdot2^{n+1}+2$

Verankerung bei $n=1$:$$\sum\limits_{i=1}^ni\cdot2^i=1\cdot2^1=2=(1-1)\cdot2^{1+1}+2=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt $n\to n+1$:

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}i\cdot2^i=\left(\sum\limits_{i=1}^ni\cdot2^i\right)+(n+1)\cdot 2^{n+1}\stackrel{\text{Ind.Vor.}}{=}\left((n-1)\cdot2^{n+1}+2\right)+(n+1)\cdot2^{n+1}$$$$\quad=(n-1)\cdot2^{n+1}+(n+1)\cdot2^{n+1}+2=[(n-1)+(n+1)]\cdot2^{n+1}+2$$$$\quad=2n\cdot2^{n+1}+2=n\cdot2^{n+2}-2=\underbrace{(\,(n+1)-1\,)}_{=n}\cdot2^{(n+1)+1}+2\quad\checkmark$$

Comments

was bedeuten diese eckigen Klammern?

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Die habe ich nur zur besseren Unterscheidung verwendet. Die Bedeutung ist dieselbe wie bei runden Klammern.

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Alles klar, danke dir! Habe auch meine Fehler gefunden und diese ausbessern können.