Monotonie beweisen x^4

Question

Aufgabe:

Hallo Leute, ich sitze gerade an einer aufgabe. Diese lautet: Beweisen Sie: Die Funktion f : R+0 → R+0 , f(x) = x4, ist streng monoton wachsend.(ohne Ableitung)

Problem/Ansatz:

Ich habe mich gefragt, ob es auch möglich ist, zu beweisen, dass x^2 streng monoton wachsend ist für R+0. daraus würde dann folgen, dass x^4 ebenfalls streng monoton wächst, da x^2*x^2=x^4. Ich bin mir unsicher, ob es mathematisch korrekt ist so zu argumentieren. vielen Dank schonmal für die Antworten!…

Comments

Wenn x > y ≥ 0 ist, dann ist auch x⁴ - y⁴ = (x² - y²)·(x² + y²) = (x - y)·(x + y)·(x² + y²) > 0, denn alle drei Faktoren sind positiv.

Answer 1

Ist \(x\geq 0,h>0\), dann ist

        \((x+h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2+4xh^3+h^4 > x^4\)

weil

        \(4x^3h + 6x^2h^2+4xh^3+h^4 > 0\).

daraus würde dann folgen, dass x⁴ ebenfalls streng monoton wächst, da x²*x²=x⁴.

Du kannst deine Schlussfolgerung nicht darauf stützen, dass \(f(x)=x^4\) das Produkt zweier streng monoton wachsender Funktionen ist. Problem ist nämlich folgendes:

\(g(x) = x^2\) ist auf \([0,\infty)\) streng monoton wachsen.

\(h(x) = x-1\) ist auf \([0,\infty)\) streng monoton wachsen.

\(p(x) = g(x)\cdot h(x)\) ist auf \([0,\infty)\) nicht streng monoton wachsen.