Zeigen Sie mittels vollständige Induktion

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
(a) Für alle \( n \in \mathrm{N}^{*} \) gilt: \( \prod \limits_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \)
(b) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt: \( \sum \limits_{j=n}^{2 n} j=\frac{3 n(n+1)}{2} \)

Verstehe nicht genau, wie ich die b lösen soll. Entweder habe ich einen Denkfehler oder allein der Induktionsanfang klappt nicht.

Comments

\(n=1: \sum_{j=1}^{2}j = 3 = 6/2 = \frac{3\cdot 1(1+1)}{2}\)

Answer 1

Induktionsschluss: Voraussetzung \( \prod \limits_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \) auf beiden Seiten mit dem nächsten Faktor \( \frac{n+3}{n+1} \) des Produktes multiplizieren und dann ein bisschen umformen. Dann kommt rechts das heraus, was sich auch beim Ersetzen von n durch n+1 ergibt.

Answer 2

Der Induktionsanfang ist oben schon in einem Kommentar.

Induktionsschritt:

Zu zeigen ist: $$\sum_{j=n+1}^{2(n+1)}j = \frac 32 (n+1)(n+2)$$

$$\sum_{j=n+1}^{2(n+1)}j = \sum_{j=n}^{2n}j + 2n+1 + 2n+2 - n$$

$$\stackrel{IV}{=}\frac 32 n(n+1) + \underbrace{3n+3}_{=3(n+1)}$$

$$= \frac 32(n+1)(n+2)$$

Fertig.