Differenzierbar, Ableitung, (ohne Knick)

Question

Kann mir jemand dies (im Bild) genauer erklären. Dankeschön :)

Text erkannt:

\( \mathrm{f} \) ist differenzierbar, wenn Differentialquotient existiert (d.h. auch links- und rechtsseitiger Grenzwert stimmen überein) und endlich ist.
\( \Rightarrow G_{\text {f hat }} \) bei \( x_{0} \) keinen Knick

Comments

vgl:

https://de.serlo.org/mathe/1651/differenzierbarkeit

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Aber da wird es immer nur mit der formel berechnet.

Aber wenn ich weiß, wie man ableitet, dann brauche ich dich die formel doch nicht oder?

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Nein brauchst du nicht. Es ist nur gut zu wissen, dass deine Ableitungsregeln, die du so kennst, sich gerade aus dieser Formel ergeben und du damit natürlich nur die Regeln anwenden darfst, wenn der Graph an dieser Stelle "Knickfrei" ist.

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Gelegentlich brauchst du den Differenzenquotienten sehr wohl.
Paradebeispiel:

\(f(x) =x^2\sin\frac 1{x}\) für \(x\neq 0\) und \(f(0) =0\) für \(x=0\).

Diese Funktion ist differenzierbar bei \(x=0\). Versuch mal spaßenshalber, "mit der Formel" abzuleiten.