Aufgabe:
(ii) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion
\( f(z)=z\left(2-|z|^{2}\right) \)
an allen Stellen \( z \in \mathbb{C} \), an denen \( f \) komplex differenzierbar ist.
Problem/Ansatz:
wie löst man diese Aufgabe?
\( \left(2-|z|^{2}\right) \) ist reell. Wenn also
\( z=a+bi \) ist, dann ist
\( f(z)=z\left(2-|z|^{2}\right) = a\left(2-|z|^{2}\right) + b\left(2-|z|^{2}\right)i\)
und mit \( |z|^{2} = a^2 + b^2 \) hat man beides.
Wenn z=a+bi, dann ist der
Realteil 2a-a·\( \sqrt{a^2+b^2} \)-2b und der
Imaginärteil b\( \sqrt{a^2+b^2} \).
Und an welchen Punkten hat der Imaginärteil und der Realteil eine Ableitung. Ich muss ja die Ableitung der Funktion bestimmen an den Stellen wo f komplex differenzierbar ist. Ich muss dann schauen an welchen Punkten der Imaginär-und Realteil eine Ableitung haben und dann schauen ob sie stetig sind. Und dann an diesen Punkten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen prüfen. Aber an welchen Punkten haben Real und Imaginärteil eine Ableitung? eigentlich bei allen?
Du musst zunächst entscheiden, ob die Antwort von mathef oder von Roland richtig ist.
