(1)
Hier ist ein Induktionsbeweis ein probates Mittel. Der Induktionsanfang ist per Definition erfüllt: 1<a1<2.
Induktionsschritt n→n+1:
Sei also 1<an<2. Zu zeigen ist, dass daraus 1<an+1<2 folgt.
Dafür ist es hilfreich, etwas umzuformen:
an+1=an2−2an+2=(an−1)2+1
Nun erhält man
1<an<2
⇒0<an−1<1
⇒0<(an−1)2<1
⇒1<=an+1(an−1)2+1<2
(2)
Zu zeigen ist, dass
an+1≤an⇔an+1−an≤0.
Nun gilt
an+1−an
=an2−2an+2−an
=an2−3an+2
=(an−1)(an−2)<1<an<20
Denn für 1<an<2 ist (an−1)>0 und (an−2)<0.