Rekursiv definierte Folge Grenzwert

Question

Aufgabe:

Es sei $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ eine Folge mit 1<a_1<2 die rekursiv definiert ist durch

$$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2$$

1. Zeige, dass für alle $$n \in \mathbb{N}$$ gilt 1<a_n<2

2. Zeige, dass a_n monoton fallend ist

3. Bestimme den Grenzwert von a_n

Problem/Ansatz:

zur 1 weiß ich leider nichts.

Bei der 2 würde ich durch 1/2 teilen

dann hätte ich $$a_{n+1}=1/2a_n^2-a_n+1$$

Darf ich das tun?

Answer 1

(1)

Hier ist ein Induktionsbeweis ein probates Mittel. Der Induktionsanfang ist per Definition erfüllt: $1<a_1 <2$.

Induktionsschritt $n\rightarrow n+1$:

Sei also $1<a_n <2$. Zu zeigen ist, dass daraus $1 <a_{n+1} < 2$ folgt.

Dafür ist es hilfreich, etwas umzuformen:

$a_{n+1} = a_n^2-2a_n + 2= (a_n - 1)^2 + 1$

Nun erhält man

$1<a_n <2$

$\Rightarrow 0 < a_n -1 < 1$

$\Rightarrow 0 < (a_n -1)^2 <1$

$\boxed{\Rightarrow1 < \underbrace{(a_n -1)^2 + 1}_{= a_{n+1}} < 2}$

(2)

Zu zeigen ist, dass

$a_{n+1} \leq a_n \Leftrightarrow a_{n+1} - a_n \leq 0$.

Nun gilt

$a_{n+1}-a_n$

$= a_n^2-2a_n + 2 - a_n$

$= a_n^2-3a_n + 2$

$= \boxed{(a_n -1)(a_n - 2) \stackrel{1<a_n<2}{<} 0}$

Denn für $1<a_n<2$ ist $(a_n -1) > 0$ und $(a_n -2) <0$.

Comments

Super, Danke trancelocation!!

Answer 2

Hello,

1) Induktion und Voraussetzung verwenden

2) Monotonie durch Induktion zeigen und zwar bezüglich an+1 ≤ an

3) Die Grenzwerte von an+1 und an sind identisch. Einfach durch a ersetzen und P-Q-Formel

Comments

Lautet die erste Zeile mit dem Grenzwert dann

$$a=a^2-2a+2$$ und dann hier p-q-Formel?