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Aufgabe:

Es sei (an)nN(a_n)_{n \in \mathbb{N}} eine Folge mit 1<a_1<2 die rekursiv definiert ist durch

an+1=an22an+2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2


1. Zeige, dass für alle nNn \in \mathbb{N} gilt 1<a_n<2

2. Zeige, dass a_n monoton fallend ist

3. Bestimme den Grenzwert von a_n

Problem/Ansatz:

zur 1 weiß ich leider nichts.


Bei der 2 würde ich durch 1/2 teilen

dann hätte ich an+1=1/2an2an+1a_{n+1}=1/2a_n^2-a_n+1

Darf ich das tun?

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(1)

Hier ist ein Induktionsbeweis ein probates Mittel. Der Induktionsanfang ist per Definition erfüllt: 1<a1<21<a_1 <2.

Induktionsschritt nn+1n\rightarrow n+1:

Sei also 1<an<21<a_n <2. Zu zeigen ist, dass daraus 1<an+1<21 <a_{n+1} < 2 folgt.

Dafür ist es hilfreich, etwas umzuformen:

an+1=an22an+2=(an1)2+1a_{n+1} = a_n^2-2a_n + 2= (a_n - 1)^2 + 1

Nun erhält man

1<an<21<a_n <2

0<an1<1\Rightarrow 0 < a_n -1 < 1

0<(an1)2<1\Rightarrow 0 < (a_n -1)^2 <1

1<(an1)2+1=an+1<2 \boxed{\Rightarrow1 < \underbrace{(a_n -1)^2 + 1}_{= a_{n+1}} < 2}

(2)

Zu zeigen ist, dass

an+1anan+1an0a_{n+1} \leq a_n \Leftrightarrow a_{n+1} - a_n \leq 0.

Nun gilt

an+1ana_{n+1}-a_n

=an22an+2an = a_n^2-2a_n + 2 - a_n

=an23an+2 = a_n^2-3a_n + 2

=(an1)(an2)<1<an<20= \boxed{(a_n -1)(a_n - 2) \stackrel{1<a_n<2}{<} 0}

Denn für 1<an<21<a_n<2 ist (an1)>0(a_n -1) > 0 und (an2)<0(a_n -2) <0.

Avatar von 12 k

Super, Danke trancelocation!!

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Hello,

1) Induktion und Voraussetzung verwenden

2) Monotonie durch Induktion zeigen und zwar bezüglich an+1 ≤ an

3) Die Grenzwerte von an+1 und an sind identisch. Einfach durch a ersetzen und P-Q-Formel

Avatar von 1,7 k

Lautet die erste Zeile mit dem Grenzwert dann


a=a22a+2a=a^2-2a+2 und dann hier p-q-Formel?

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