Aufgabe:
Die Bevölkerung eines Landes nimmt in jedem Jahr um 1,5% ihres ursprünglichenBestandes zu. Um welchen Prozentsatz hat sie in 30 Jahren zugenommen? Nachwievielen Jahren hat sie sich verdoppelt?
Problem/Ansatz:
Ich komme auf 45% Zunahme und 66,66 Jahre. Das Ergebnis soll aber 56,8% sein und 46,2 Jahre? Was mache ich falsch?
Du hast wahrscheinlich die Formulierung " ihres ursprünglichen Bestandes" ernst genommen. Die andere Berechnung geht wohl von " ihres jeweiligen Bestandes" aus. Rechne mal die 2. Variante und Vergleiche.
Wieder ein tolles Beispiel für eine schlecht gestellte Aufgabe...
Man könnte allerdings auch annehmen, dass das Konzept des exponentiellen Wachstums nicht verstanden wurde.
Ah, ok, dann komme ich mit der stetigen Verzinsungsformel auf das Ergebnis. Aber das wäre dann doch die momentane Wachstumsrate und nicht die ursprüngliche, oder?
Exponentielles Wachstum habe ich auch gerechnet, das gibt etwas andere Werte.
das gibt etwas andere Werte.
Ich bekomme auch nicht die Werte heraus, die du angegeben hast.
Aber das wäre dann doch die momentane Wachstumsrate und nicht die ursprüngliche, oder?
Das ist genau das, was Mathhilf gemeint hat. Die Aufgabe ist da sehr unglücklich formuliert.
Die Aufgabe ist eindeutig formuliert und die Lösung des FS richtig. Die angegebene Lösung ist falsch (vermutlich, wie schon angemerkt, weil der Aufgabensteller exponentielles Wachstum nicht verstanden hat, oder, heutzutage auch nicht selten, nicht ordentlich formulieren kann).
Man muss dann nicht die Aufgabenstellung korrigieren, damit sie zu der Lösung passt. Umgekehrt muss die Korrektur erfolgen.
Exponentiell:
\(1,015^{30}\approx 1,5631\), also \(56,31\,\%\) Wachstum.
\(\log_{1,015}(2)\approx 46,56\) Jahre.
Stetig:
\(\mathrm{e}^{0,015\cdot 30}\approx 1,5683\), also \(56,83\,\%\) Wachstum.
\(\frac{\ln(2)}{0,015}\approx 46,21\) Jahre.
Bei deinem angenommenen geometrischen/exponentiellen Wachstum komme ich auf 46,56 Jahre.
Die angegebenen Lösungen erhält man aber durch ‚stetige Verzinsung‘ wie der FS bereits sagte.
Danke, war ein Tippfehler. Ist korrigiert.
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