Aufgabe:
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Aufgabe \( 4 \quad \) (6 Punkte)
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und sei \( \emptyset \neq Y \subset X \) versehen mit der Relativmetrik \( d_{Y} \). Zeigen Sie:
(a) (2 Punkte) Eine Teilmenge \( U \subset Y \) ist genau dann offen in \( \left(Y, d_{Y}\right) \), wenn eine in \( (X, d) \) offene Teilmenge \( V \) existiert mit \( U=V \cap Y \).
(b) (2 Punkte) Eine Teilmenge \( A \subset Y \) ist genau dann abgeschlossen in \( \left(Y, d_{Y}\right) \), wenn eine in \( (X, d) \) abgeschlossene Teilmenge \( B \) existiert mit \( A=B \cap Y \).
(c) (2 Punkte) Eine Teilmenge \( K \subset Y \) ist genau dann kompakt in \( \left(Y, d_{Y}\right) \), wenn sie kompakt in \( (X, d) \) ist.
