Die Frage hat gar nicht so wenig Aufrufe, deswegen antworte ich mal, da ich den Beweis "\(\Leftarrow\)" geführt und ich selbst nach "\(\Rightarrow\)" gesucht habe :)
Sei (X,d) ein metrischer Raum und Y ⊆ X mit der induzierten Metrik \(d':Y\times Y→\mathbb{R}\) ausgestattet. Sei die
Fuer "⇒" sollte es doch eigentlich klar sein, da V ⊆ Y ⊆ X und V somit V ⊆ X und V offen in X und Y ist, da beide Mengen die gleiche Metrik haben.
Das ist falsch, den Fehler habe ich auch gemacht. V ist nicht zwangsläufig in X offen. Das gilt anscheinend nur, wenn Y offen in X ist. Man muss somit die Menge U konstruieren.
Umformulierte Behauptung:
Eine Teilmenge V ⊆ Y ist offen in Y genau dann, wenn eine in X offene Teilmenge U ⊆ X mit V = U ∩ Y existiert.
Beweis:
"\(\Leftarrow\)" Angenommen es existiert eine offene Teilmenge \(U\subset X\) mit \(V=U\cap Y\).
Sei \(a\in V\) bzw. \(a\in U\cap Y\) beliebig gewählt, also muss gelten \(a\in U\) und \(a\in Y\).
Aus der Offenheit von \(U\) folgt, dass für \(a\in U\) ein \(r >0\) existiert, so dass \(U_r(a)\subset U\) gilt mit \(U_r(a)=\{ x\in X| d(a,x)<r\}\).
Betrachte nun \(U_r(a)\cap Y=\{ y\in Y| d'(a,y)<r\}\). Es ist klar, dass jedes Element aus \(U_r(a)\cap Y\) auch in \(V=U\cap Y\) enthalten ist bzw. \((U_r(a)\cap Y)\subset (U\cap Y)=V\)
Für das beliebige \(a\in V\) konnte somit eine Zahl \(r>0\) gefunden werden, so dass \(V_r(a)=U_r(a)\cap Y \subset V\) gilt, somit ist \(V\) offen in \(Y\).
"\(\Rightarrow\)"
Bin ich dran gescheitert, aber hier auf Englisch:
https://math.stackexchange.com/questions/1643156/for-u-subseteq-y-subseteq-x-prove-that-u-is-open-in-y-iff-there-is-a-v-s?rq=1
Achtung U und V sind im Link vertauscht.
