Allgemeine Potenzfunktion: Eigenschaften nachweisen

Question

Hat jemand eine Idee, wie ich diese Aufgaben lösen kann?

$$\text{ Wir definnieren für }a \in \mathbb{R} \text{ die allgemeine Potenzfunktion } p_a : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \text{ durch }$$

$$p_a(x):=x^a=exp(alog(x)) \text{ für x > 0. }$$

$$\text{ (i) } p_a \text{ ist streng monoton wachsend für α > 0 und streng monoton fallend für α < 0. }$$

$$\text{ (ii) } p_a \text{ ist stetig. }$$

$$\text{ (iii) } \text{ Es gilt } \lim\limits_{x \searrow 0}{p_a}(x) = 0 \text{ für a > 0 und } \lim\limits_{x \searrow 0}{p_a}(x) = \infty \text{ für a < 0. }$$

Answer 1

(i) Verkettung streng monoton wachsender Funktionen ist streng monoton wachsend. Verkettung monoton wachsender Funktion mit streng monoton fallender Funktionen ist streng monoton fallend.

(ii) auch über Verkettung

(iii) Sei a>0. Dann gilt \(  \lim\limits_{x \searrow 0} (a \cdot log(x)) = -\infty  \)

Also \( \lim\limits_{x \searrow 0}{p_a}(x) = \lim\limits_{y \to -\infty } e^y = 0\)

Sei a<0. Dann gilt \(  \lim\limits_{x \searrow 0} (a \cdot log(x) )= \infty \)

Also \( \lim\limits_{x \searrow 0}{p_a}(x) = \lim\limits_{y \to \infty } e^y = \infty \)

Comments

Vielen Dank!