Konvergenz beweisen/wiederlegen

Question

Aufgabe: Konvergiert die Folge -2e^(3pi*i*n)

Problem/Ansatz: Behauptung: konvergiert nicht, sondern ist alternierend zwischen 2 und -2.

Beweis: ‚für alle a aus komplexe Zahlen existiert ein ε > 0 für alle n(0) aus IN mit einem n >= n(0): |a(n) - a| >= ε.

Mein Ansatz: Falls a = 2 mit ε = 1. Sei n(0) aus IN dann 2(n(0)+1) >= n(0) und |a(2(n(0))+1 - a| = |-2-2| = 4 >= 1 = ε.

Falls a ≠ 1. Dann existiert ε > 0 mit |2-a| > ε. Sei n(0) aus IN dann 2(n(0)) >= n(0) und |a(2(n(0)) - a| = |2-a| > ε

Geht das so als Beweis? …

Answer 1

Aloha :)

Ich verstehe nicht ganz, was du mit deinem Vorgehen zeigen möchtest...

Ich empfehle, zwischen geraden und ungeraden \(n\) zu unterscheiden.$$n=2k\implies a_n=-2e^{i\,3\pi\cdot2k}=-2(e^{i2\pi})^{3k}=-2\cdot1^{3k}=-2$$$$n=2k+1\implies a_n=-2e^{i\,3\pi\cdot(2k+1)}=-2(e^{i2\pi})^{3k}\cdot e^{i3\pi}=-2\cdot1^{3k}\cdot(-1)=2$$

Zusammengefasst heißt das:$$a_n=-2e^{i\,3\pi n}=\left\{\begin{array}{rl}-2 & \text{falls n gerade}\\2 &\text{falls n ungerade}\end{array}\right.$$

Die Folge \((a_n)\) hat daher zwei Häufungspunkte und keinen Grenzwert.

Comments

Text erkannt:

\( .\left((-1)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, 1,-1,1,-1,1 \ldots \)
Beh houvergial mill: \( V a \in \mathbb{C} \exists \varepsilon>0 \forall n_{0} \in \mathbb{W} \exists n \geqslant n_{0},\left|a_{n}-a\right| \geqslant \varepsilon \)
Ben Falls \( a=1 \) : Wärle \( \varepsilon=1 \). Sei \( n_{0} \in \mathbb{N} \) dann \( 2 n_{0}+1 \geqslant n_{0} \) und
\( \left|a_{2 u_{0}+1}-a\right|=\left|(-1)^{2 u_{r+1}}-1\right|=|-1-1|=2 \geq \varepsilon \)
Falle \( a \neq 1 \) : dann ex. \( \varepsilon>0 \) mil \( |1-a|>\varepsilon \). Sei \( n_{0} \in \mathbb{W} \). Dame \( 2 n_{0} \geqslant n_{0} \) und \( \left|a_{2 u_{0}}-a\right|=\left|(-1)^{2 n_{0}}-a\right|=|1-a|>\varepsilon \).

Ja, das habe ich auch so verstanden, nur unsere Dozentin hat es so ähnlich aufgeschrieben und deshalb wollte ich es auch so machen.