Stammfunktion finden/Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

\( \int \frac{8}{8+e^{x}} \)

Stammfunktion finden

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war eigentlich Partialbruchzerlegung, da aber der Nenner keine Nullstelle hat weiß ich nicht was ich nun machen soll. Hat jemand eine gute Erklärung die Rechner aus dem Internet helfen nicht ganz.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst den Integranden so umformen, dass du ein Standardintegral der Form$$\red{\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|}$$erhältst. Dann ist das Integral ein Einzeiler:$$\int\frac{8}{8+e^x}\,dx=\int\frac{(8\green{+e^x})\green{-e^x}}{8+e^x}\,dx=\int\left(1-\red{\frac{e^x}{8+e^x}}\right)dx=x-\red{\ln(8+e^x)}+C$$

Answer 2

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/