Zeige mit dem Banachschen Fixpunktsatzes, dass...

Question

Sei \( g \in C\left(\left[0, \frac{1}{2}\right], \mathbb{R}\right) \). Zeige mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes, dass es genau ein \( \varphi_{*} \in C\left(\left[0, \frac{1}{2}\right], \mathbb{R}\right) \) gibt mit

und berechnen Sie \( \varphi_{*} \) .

Hat Jemand eine Ahnung wie man das macht?
Vielen Dank im voraus!

Comments

Versuche es mit  φ_*(x) = g(x)+8x/7·₀∫^1/2g(t) dt

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Wieso soll hier krampfhaft der Banachsche Fixpunktsatz bemüht werden?

Die Abbildung \(T : C\left[0,\frac 12\right]\rightarrow C\left[0,\frac 12\right]\) mit \((Tf)(s)  = f(s) - s\int_0^\frac12f\;dt\) ist linear.
Eine einfache Rechnung zeigt, dass \(\ker T =\{0\}\) (Die Nullfunktion).

Also muss die Lösung von \(Tf = g\) eindeutig sein.

Um eine konkrete Lösung für \(Tf = g\) zu finden, musst du dir nur klarmachen, dass f und g sich nur um eine lineare Funktion \(c\cdot s\) unterscheiden. Also \(f(s) = g(s) + c\cdot s\). Setze diesen Ansatz ein und bestimme c. Im vorherigen Kommentar steht die Lösung.