Aloha :)
zu 1) Nutze die Regel von L'Hospital
x→0limxtanx=x→0limxcosxsinx=x→0limxcosxsinx=(L’Hospital)x→0lim1⋅cosx−xsinxcosx=1⋅1−0⋅01=1
zu 2) Nutze den trigonometrischen Pythagoras
tan(arcsinx)=cos(arcsinx)sin(arcsinx)=(sin2x+cos2x=1)1−sin2(arcsinx)sin(arcsinx)=1−x2x
zu 3) Wir formen die Gleichung zunächst um:sin(2x)=tanx⟹2sinxcosx=cosxsinxund erkennen, dass alle Nullstellen x=Z⋅π der Sinus-Funktion die Gleichung efüllen.
Für x=Z⋅π ist sinx=0 und wir können die Gleichung durch sinx dividieren:2cosx=cosx1⟹2cos2x=1=sin2x+cos2x⟹cos2=sin2x⟹cos2x−sin2x=0⟹cos(2x)=0⟹2x=Zπ−2π⟹x=2Zπ−4π
Damit können wir die Lösungsmenge vollständig angeben:L={x∈R∣∣∣∣∣x=(2Z−1)4π∨x=Zπ}