(1+clny)lny =lnA + αlnK + βlnL partiell ableiten nach K und L

Question

Man soll (1+clny)lny =lnA + αlnK + βlnL partiell ableiten nach K und L. Dabei ist y=y(K,L) und A, α und β sind Konstanten.
Mein Problem: in den Lösungen ist in der Ableitung dy/dK geschrieben und dann muss man nach dem umformen.

(c/y)(dy/dK)lny + (1+clny)(1/y)dy/dK = α/K

Doch irgendwie verwirrt mich dies, ich verstehe nicht wie dy/dK in der Gleichung stehen kann, meiner Meinung nach müsste ich einfach ableiten und damit dy/dK nicht schreiben. Denn vorher habe ich immer so abgeleitet:

y = 2x  → dy/dx=2 und da habe ich nicht noch dy/dx neben das x geschrieben.
Es ist schwer auszudrücken was ich nicht genau begreiffe, ich hoffe jemand versteht was ich meine ;)

Answer 1

Bedenke, dass y eine Funktion ist, also  y = f ( K , L ). Beim Ableiten musst du daher die Kettenregel (äußere Ableitung mal inneren Ableitung) beachten. Und dy / dK ist gerade diese innere Ableitung.

Also:

( 1 + c ln y ) ln y = ln A + α ln K + β ln L

Ersetze y durch f ( L , K ):

<=> ( 1 + c ln ( f ( L , K ) ) ) ln ( f ( L , K ) ) = ln A + α ln K + β ln L

Linke Seite formal nach Produktregel ( u ' * v + u * v ' ) ableiten:

[ ( 1 + c ln ( f ( L , K ) ) ) ] ' * ln ( f ( L , K ) ) + ( 1 + c ln ( f ( L , K ) ) ) * [ ln ( f ( L , K ) ) ] '

Nun die Ableitungen bilden , dabei die Kettenregel beachten:

= ( c / f ( L , K ) ) * ( d f ( L , K ) / dK ) * ln ( f ( L , K ) ) + ( 1 + c ln ( f ( L , K ) ) ) * ( 1 / f ( L , K ) ) * ( d f ( L , K ) / dK )

Dabei ist d f ( L , K ) / dK  die innere Ableitung, die nicht explizit geschrieben werden kann, da f ( L , K ) nicht bekannt ist.
Ersetzt man nun f ( L , K ) wieder durch y , so erhält man:

= ( c / y ) * ( d y / dK ) * ln y + ( 1 + c ln y ) * ( 1 / y ) * ( d y / dK )

also gerade den Ausdruck, der auch in der Lösung steht.

 

Bei y = 2 x ist das anders, da x keine Funktion einer anderen Variablen ist, nach der abgeleitet werden sollte. Die Kettenregel kommt hier also nicht zur Anwendung. Statt dessen wird direkt nach x abgeleitet.