Aufgabe:
Sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum
mit Basis B = (b1, . . . , bn). Wir betrachten f ∈ EndK(V ) und setzen A := B[f]B (damit meine ich die Darstellungsmatrix bzgl B).
Sei f trigonalisierbar. Beweisen Sie, dass A und A^t zueinander ähnlich sind.
Führen Sie die Behauptung zunächst auf den Fall zurück, dass A in
Jordan-Normalform ist. Betrachten Sie dann zunachst ein einzelnes Jordan-Kästchen.
Problem/Ansatz:
sei A in Jordannormalform und J ein Jordankästchen von A zum Eigenwert a
es existiert eine Basis B´ von V, sodass B´[f]B´ eine obere Dreiecksmatrix ist
sei W ein Untervektorraum von V, welcher aus den v∈V gebildet wird mit: v∈B´ ∧ v∈Eig(f,a)
Dann ist auch ∀v∈W :f(v)∈W und W f invariant
f|W:W -> W ∈ End(W)
B´[f|W]B´ ist eine Oberedreiecksmatrix
Ich glaube mein Ansatz ist blödsinn aber ich dachte vielleicht kanns doch irgendwie weiterhelfen.
